• Площадь окрестностей Солнца в диске Галактики с радиусом 2.5 кпк в 25 раз меньше площади всего диска Галактики с диаметром 25 кпк. Поэтому полное количество рассеянных скоплений, существующих в Галактике в настоящее время, в 25 раз больше их количества в окрестностях Солнца и составляет 50000. Оценим полное число скоплений, образовавшихся в Галактике за 10 миллиардов лет.

Очевидно, все существующие ныне скопления родились на протяжении последних 500 миллионов лет (обозначим эту величину как $\tau$ ). График числа скоплений, родившихся в "единичном" интервале времени $\Delta t$ (например, за 1 миллион лет), представляет собой прямую линию,

спадающую от некоторого значения до нуля за период T, равный 10 миллиардов лет.

Легко увидеть аналогию между этой задачей и вычислением пути при равнозамедленном движении. Этот путь равен площади под линейным графиком для скорости. Видно, что полное число скоплений, родившихся за время T, будет в $(T/\tau)^2$ или в 400 раз (это отношение площадей подобных треугольников) больше числа существующих скоплений, то есть всего за 10 миллиардов лет их образовалось около 20 миллионов. Средняя по времени скорость образования скоплений составляла 2000 скоплений за миллион лет. Как видно из графика, скорость образования скоплений в начальную эпоху вдвое превосходит среднее значение и составляет 4000 скоплений за миллион лет.

Можно вычислить число скоплений и скорость их образования и подругому, опираясь на свойства арифметической прогрессии. Разобьем весь интервал $\tau$ на подинтервалы длительностью $\Delta t$ . Пусть темп образования скоплений 500 млн. лет назад составлял n скоплений за млн.лет. Последовательные значения темпа составляют убывающую до нуля арифметическую прогрессию. Сложим попарно первый член прогрессии с последним, второй с предпоследним и т.д. Легко сообразить, что все попарные суммы (а их всего $\tau/2\Delta t$ ) одинаковы и равны n. Поэтому полное число скоплений, родившихся за время $\tau$ , будет равно

$$N = \frac{n\tau}{2\Delta t}.$$

Отсюда

$$n=\frac{2N\Delta t}{\tau},$$

что составляет 200 скоплений за миллион лет. Из линейного закона получаем величину темпа образования скоплений в начальную эпоху

$$n_0 = n \frac{T}{\tau} = \frac{2NT\Delta t}{\tau^2}$$

или 4000 скоплений за миллион лет. Делая аналогичное разбиение на интервалы $\Delta t$ , но уже за весь период T, получаем общее число скоплений, образовавшихся в Галактике:

$$N_0 = \frac{n_0 T}{2\Delta t} = \frac{NT^2}{\tau^2} = 2 \cdot 10^7.$$

Точка Лагранжа (Е.Н. Фадеев)

1

рефракцией пренебречь.

2 \cdot 10^7