№ 11.3Задача 11.3
- 3. Условие. В период задымления от лесных пожаров в центральной России летом 2010 года наблюдатель заметил, что Солнце на высоте $20^{\circ}$ над горизонтом имело ту же видимую яркость, какая бывает у полной Луны вблизи зенита на ясном небе при чистой атмосфере. Исходя из этого, оцените суммарную массу дымовых частиц, находившихся над одним квадратным метром земной поверхности в этих районах. Считать, что поглощение света в чистой атмосфере в зените равно $0.2^{\rm m}$ , а дым состоит из черных частиц радиусом 1 мкм и плотностью $0.6~{\rm r/cm}^3$ . Также считать, что поглощение света соответствует законам геометрической оптики (дифракцией на частицах пренебречь).
- 3. Решение. Звездная величина Солнца при отсутствии атмосферного поглощения составляет $-26.8^{\rm m}$ , а звездная величина полной Луны в тех же условиях составляет $-12.7^{\rm m}$ . Вблизи зенита атмосферное поглощение делает Луну слабее на $0.2^{\rm m}$ , то есть ее блеск становится равным $-12.5^{\rm m}$ . Такой же блеск оказался у Солнца на высоте h (20°) над горизонтом в задымленной атмосфере. Величина поглощения солнечного излучения составила
$$m_{\rm h} = -12.5 - (-26.8) = 14.3^{\rm m}$$
Решение
Для высоты 20°, учитывая оценочный характер задачи, вполне можно использовать плоскопараллельную модель атмосферы (см. рисунок). Атмосфера разделяется на горизонтальные слои, в каждом из которых поглощение пропорционально длине пути луча света сквозь слой. Тогда поглощение света в зените будет равно
$$m = m_h \sin h = 4.9^{\rm m}$$
При наличии в атмосфере нескольких поглощающих компонент соответствующие величины поглощения складываются. Из полученной величины $4.9^{\rm m}$ на долю чистого атмосферного воздуха приходится $0.2^{\rm m}$ . Остальные $4.7^{\rm m}$ (обозначим эту величину $m_{\rm S}$ ) связаны с дымом.
Как известно, поглощение на $1^{\rm m}$ соответствует уменьшению яркости в $10^{0.4}$ или 2.512 раза. Учитывая это, мы можем перевести величину $m_{\rm S}$ в значение вертикальной оптической толщины дыма:
$$\tau_S = \ln(10^{0.4 \cdot m_S}) = \ln(10^{0.4}) \cdot m_S = 0.921 \cdot m_S = 4.3.$$
Смысл данной величины в данном случае заключается в том, что среднее число дымовых частиц, которые окажутся на пути вертикального луча света, составляет 4.3.
Каждая частица дыма создает для излучения заслон площадью $\sigma = \pi r^2$ , где r — радиус частицы. Над площадью S на поверхности Земли будет находиться N частиц с выполнением условия:
$$N \cdot \sigma = S \cdot \tau_{S}$$
то есть, дымовые частицы будут «накрывать» поверхность Земли 4.3 слоями. Отсюда мы получаем
$$N = \frac{S \cdot \tau_S}{\sigma} = \frac{S \cdot \tau_S}{\pi r^2}.$$
Чтобы получить суммарную массу, нужно полученное число умножить на массу одной частицы:
$$M = N \cdot \frac{4}{3} \pi \rho r^3 = \frac{4}{3} S \cdot \tau_S \cdot \rho \cdot r.$$
Здесь $\rho$ – плотность частиц. Подставляя численные данные, получаем 1.7 грамм на один квадратный метр поверхности Земли. Столь небольшая масса дыма создает сильный оптический (и не только) эффект благодаря тому, что эта масса распределена среди огромного количества мелких частиц.
Ответ
1.7 грамм на один квадратный метр поверхности Земли.