№ 9.6 / 10.6 / 11.6Задача 9.6 / 10.6 / 11.6
6. Условие. На рисунке показан трек планеты Солнечной системы (положение среди звезд в разные моменты времени). Положения, отмеченные кружками, отстоят друг от друга на 10 дней, даты подписаны через 30 дней. Что это за планета?
6. Решение. Трек показывает видимое перемещение планеты в течение полугода (с марта по август). За это время планета вначале движется в прямом направлении, затем разворачивается и движется попятно, а затем вновь прямо. В середине дуги попятного движения, в мае, планета оказывается на границе созвездий Весов и Скорпиона, противоположно Солнцу (в чем можно убедиться также по координатам, указанным на
Решение
карте). Следовательно, это внешняя планета, и в середине дуги попятного движения она вступила в противостояние с Солнцем.
Используя шкалу склонений, приведенных на карте, можно определить ее масштаб, а также видимую (угловую) скорость перемещения планеты вблизи противостояния во второй половине мая. Угловое расстояние между положениями планеты 20 и 30 мая составляет 1.3°, то есть угловая скорость равна 0.13° в день.
Пусть радиус орбиты планеты равен r, а радиус орбиты Земли $-r_0$ . В момент противостояния планета располагается на расстоянии $(r-r_0)$ от Земли. Скорости Земли $r_0$ и планеты v сонаправлены (наклон и эллиптичность орбиты планет не вносит существенного отклонения), и видимая угловая скорость планеты равна
Из III закона Кеплера или из выражения для первой космической скорости можно получить соотношение скоростей планеты и Земли:
$$\omega = \frac{v_0}{r} \cdot \frac{1 - (r_0 / r)^{1/2}}{1 - (r_0 / r)} = \frac{v_0}{r} \cdot \frac{1}{1 + (r_0 / r)^{1/2}} = \frac{v_0}{r + (r_0 r)^{1/2}}.$$
Обозначим отношение $(r/r_0)$ – радиус орбиты в астрономических единицах – через a. Тогда последнее соотношение примет вид:
$$\omega = \frac{v_0}{r_0} \cdot \frac{1}{a + \sqrt{a}} = \omega_0 \cdot \frac{1}{a + \sqrt{a}}.$$
Здесь $\omega_0$ – угловая скорость орбитального вращения Земли, равная 0.986° в сутки. Мы получаем квадратное уравнение
Подставляя измеренное по графику значение $\omega$ , получаем радиус орбиты планеты: 5.3 а.е. Это планета Юпитер.
Ответ
Подставляя измеренное по графику значение $\\\omega$ , получаем радиус орбиты планеты: 5.3 а.е. Это планета Юпитер.