• 2. Решение. Коль скоро мы пренебрегаем наклоном орбит спутников к экватору Марса (в действительности он очень мал, порядка 1°), спутники обращаются вокруг Марса в плоскости его экватора. Периоды вращения спутников не совпадают с осевым периодом вращения Марса, и в разное время они будут располагаться над разными меридианами Марса. Так как стоит задача постоянного наблюдения спутников с вышки, ее имеет смысл строить там, где нижняя кульминация спутников происходит наименее глубоко под горизонтом. Этому условию в пределе удовлетворяют полюса Марса, где спутники будут располагаться на постоянной глубине под горизонтом. Находись они бесконечно далеко от планеты, они появились бы на горизонте при наблюдении с поверхности. Но в реальности спутники (особенно Фобос) близки к Марсу и оказываются ниже вследствие эффекта суточного параллакса.

Обозначим радиус Марса через R, радиус орбиты Фобоса через L, минимальную высоту вышки через h. Из рисунка мы можем записать соотношение

$$\cos\alpha = \frac{D}{L} = \frac{\sqrt{L^2 - R^2}}{L} = \frac{R}{R + h}.$$

Отсюда мы получаем выражение для минимальной высоты вышки:

$$h = \frac{LR}{\sqrt{L^2 - R^2}} - R = R \left( \frac{1}{\sqrt{1 - (R/L)^2}} - 1 \right).$$

Подставляя численные данные для Марса и Фобоса, получаем значение высоты: 247 км. С вершины такой башни всегда будет виден Фобос и, очевидно, Деймос, так как он расположен дальше, и его суточный параллакс меньше (см. рисунок).

247 км.