№ 10.3Задача 10.3
- 3. Условие. Астрономы наблюдали далекую звезду, физически похожую на Солнце, и зафиксировали падение ее яркости на 0.1% в течение 5 часов, вызванное прохождением по ее диску планеты. Найдите расстояние между планетой и звездой, считая орбиту планеты круговой. Определите размер планеты, считая, что она прошла по центру диска звезды. На какую планету Солнечной системы похожа эта далекая планета по размерам?
- 3. Решение. Планета прошла по центру диска звезды, отчего видимая яркость звезды уменьшилась на 1/1000 часть. Наблюдения ведутся с расстояния, много большего радиуса орбиты планеты, поэтому можно считать, что соотношение видимых размеров звезды и планеты такое же, как соотношение их истинных размеров. Тогда мы можем определить радиус планеты:
$$r = \frac{R}{\sqrt{1000}} \approx 0.03 R.$$
Решение
Здесь R — радиус звезды, который по условию задачи близок к радиусу Солнца. Радиус планеты оказывается равен 22 тысячи км, то есть планета по размерам напоминает Уран и Нептун.
Вновь учитывая, что наблюдения происходят издалека, отметим, что длительность прохождения планеты T есть ни что иное, как время, за которое планета в своем орбитальном движении пролетает расстояние, равное диаметру звезды. Отсюда мы получаем скорость планеты:
$$v = \frac{2R}{T} \approx 80 \text{ km/c}.$$
Эта величина по сути – первая космическая скорость на заданном расстоянии от звезды. Так как эта звезда схожа с Солнцем и по размерам, и по массе, мы можем легко определить радиус орбиты планеты в астрономических единицах, сравнив ее орбиту с земной:
$$\frac{d}{d_0} = \frac{v_0^2}{v^2} = 0.15.$$
Здесь $d_0$ – расстояние от Земли до Солнца (астрономическая единица), $v_0$ – орбитальная скорость Земли.
Ответ
$\frac{d}{d_0} = \frac{v_0^2}{v^2} = 0.15.$