№ 11.3Задача 11.3
- 3. Условие. На снимках космической обсерватории SOHO различимы звезды до 8m на 20 угловых радиусах Солнца от его центра. Каким должен быть размер астероида, чтобы его можно было бы обнаружить рядом с Солнцем, в 20 радиусах от его центра в пространстве? Оптические свойства поверхности астероида считать аналогичными лунным, материал тугоплавким, изменениями свойств из-за нагрева пренебречь.
- 3. Решение. Чтобы увидеть астероид, расположенный в 20 радиусах Солнца от его центра, на 20 угловых радиусах Солнца от его положения на небе, астероид должен располагаться «сбоку» от Солнца. Условия его освещения будут аналогичны условию освещения Луны в фазе первой или последней четверти, поэтому нам нужно сравнивать яркость астероида с Луной именно в этой фазе. Тогда ее блеск $m_0$ составляет $-10^{\rm m}$ . Освещенность, создаваемая Луной на Земле в это время, равна
$$J_0 = \frac{B \cdot A \cdot F \cdot R_0^2}{16\pi \cdot L_0^2 D_0^2}.$$
Решение
Здесь B — светимость Солнца, A — сферическое альбедо Луны, F — фактор, характеризующий отражательную способность лунной поверхности для конфигурации первой и последней четверти (может показаться, что этот фактор равен 0.5, но в действительности он существенно меньше, как видно из звездных величин Луны в первой и последней четверти и в полнолунии). $R_0$ — расстояние от Солнца до Луны (и Земли), $D_0$ — расстояние от Луны до Земли.
По условию задачи, свойства поверхности астероида аналогичны лунным, следовательно, при таких же условиях освещения («сбоку») у него будут те же значения A и F. Расстояние от астероида до Земли в этом случае такое же, как от Солнца до Земли – $L_0$ . Освещенность, создаваемая астероидом на Земле, составит
$$J = \frac{B \cdot A \cdot F \cdot R^2}{16\pi \cdot D^2 L_0^2}.$$
Здесь R — радиус астероида, D — его расстояние от Солнца. Чтобы обнаружить астероид, эта освещенность должна соответствовать звезде m=8, то есть
$$\frac{J}{J_0} = \frac{R^2 D_0^2}{R_0^2 D^2} \ge K = 10^{0.4(m_0 - m)} = 6.3 \cdot 10^{-8}.$$
Радиус астероида должен быть
$$R \ge \frac{R_0 D \sqrt{K}}{D_0}.$$
Расстояние D есть 20 радиусов Солнца (14 млн км), отсюда минимальный радиус астероида составляет 16 км.
Ответ
R \ge \frac{R_0 D \sqrt{K}}{D_0}. Расстояние D есть 20 радиусов Солнца (14 млн км), отсюда минимальный радиус астероида составляет 16 км.