Задача 11.5

5. Условие. Каким должно быть фокусное расстояние наземного телескопа с апертурой 20 см, чтобы количество энергии, приходящее от Марса и Антареса $(1.1^{\rm m})$ на один пиксель ПЗС-матрицы, было одинаковым? Считать Марс находящимся в великом противостоянии: его блеск $-2.9^{\rm m}$ , расстояние до Земли 56 млн км. Размер квадратного пикселя ПЗС-матрицы равен 10 мкм.
5. Решение. Пусть $J_{\rm A}$ поток световой энергии, приходящей от Антареса, а $J_{\rm M}$ поток энергии приходящей от Марса. Из формулы Погсона можем определить отношение этих потоков как

$$\frac{J_{\rm M}}{J_{\rm A}} = K = 10^{0.4(m_{\rm A} - m_{\rm M})} = 40.$$

При этом Марс является протяженным объектом с угловым диаметром $\delta_{\rm M}$ =25" (это можно определить на основе заданного расстояния до Земли), а Антарес — точечная звезда. Физически рассмотреть его диск нельзя, а его угловые размеры при наблюдении в телескоп будут определяться дифракцией и атмосферным дрожанием. Размер дифракционного диска (кружка Эри) для телескопа с диаметром объектива D равен

$$\delta_{A0} = 206265'' \cdot 1.22 \frac{\lambda}{D} = 0.69''.$$

Атмосферное дрожание увеличивает видимый диск до размера $\delta_A$ порядка 1". Получается, что видимая площадь Антареса на небе примерно в 600-800 раз меньше видимой площади диска Марса, а его поверхностная яркость в 15-20 раз больше поверхностной яркости диска Марса. Поэтому если угловой размер, соответствующий одному пикселю матрицы, окажется меньше 1", то изображения Марса и Антареса попадут на несколько пикселей, и освещенность пикселя от Антареса будет в 15-20 раз больше, чем от Марса.

Однако, условие задачи может быть выполнено, если маленькое изображение Антареса уместится в один пиксель, будучи меньше его по размерам, а изображение Марса займет K=40 пикселей. Рассчитаем угловой размер пикселя для этого случая:

$$\beta = \sqrt{\frac{\pi \delta_{\rm M}^2}{4K}} = 3.5".$$

Это больше угловых размеров Антареса, размытых атмосферным дрожанием, удовлетворяя сделанному выше предположению. Зная линейный размер пикселя b, получаем фокусное расстояние объектива:

$$F = \frac{b \cdot 206265''}{\beta''} = 60 \text{ cm}.$$

Ко всему сказанному необходимо добавить, что даже при больших размерах пикселей изображение Антареса может попадать на их границу, освещая сразу несколько (от 2 до 4) пикселей. Этот эффект приводит к уменьшению средней освещенности одного пикселя от Антареса в 2-4 раза. Уменьшение освещенности пикселей от Марса в 2-4 раза соответствует увеличению требуемого фокусного расстояния в 1.5-2 раза.

№ 11.5Задача 11.5