№ 11.6Задача 11.6
6. Условие. Перед Вами диаграмма Герцшпрунга — Рассела, на которую нанесены звезды в соответствии с их светимостью (или абсолютной звездной величиной в полосе V) и показателем цвета В–V (или эффективной температурой, если определять ее по этому показателю цвета). Предположим, у далекой звезды, похожей на Солнце и находящейся на оси главной последовательности, есть более слабый близкий спутник, также расположенный на оси главной последовательности. Система не разрешается в телескоп, и данные ее фотометрии относятся ко всей системе в целом. Нарисуйте фрагмент диаграммы вблизи положения Солнца и отметьте, куда на ней может попасть такая звезда. Определите максимально возможное смещение этой звезды от положения главной звезды по абсолютной звездной величине и температуре. Химический состав обеих звезд системы считать одинаковым, межзвездным поглощением света пренебречь.
6. Решение. По условию задачи спутник не может быть ярче главной звезды. С учетом одинакового химического состава можно сделать вывод, что его температура меньше температуры главной звезды, а цвет (B–V) больше, чем у главной звезды. Можно выделить два крайних случая. Если спутник такой же яркий, как и главная звезда, значит его температура такая же и цвет такой же. Показатель цвета двойной системы не изменится, а блеск возрастет на 2.5 lg 2 ≈ 0.75m. Напротив, очень слабый спутник практически не будет вносить вклада в суммарный блеск двойной, а значит и в ее цвет, т. е. двойная будет располагаться на диаграмме там же, где и главная звезда. В промежуточном случае блеск двойной будет немного ярче блеска главной звезды, а ее цвет больше, т. е. двойная звезда окажется на диаграмме выше и правее. Очевидно, что геометрическое место всех возможных положений двойной не отрезок прямой, а часть более сложной кривой.
Решение
Положение звезд на $1-2^m$ слабее Солнца на оси главной последовательности можно характеризовать прямой линией. Чтобы найти уравнение этой линии нужно определить на ней координаты двух точек: Солнца и какой-либо более слабой звезды (определяется по диаграмме). Коэффициент наклона получаем равным
$$\frac{(B-V)_1 - (B-V)_0}{M_1 - M_0} = K \approx 0.2 = \frac{1}{5}.$$
Здесь индексы «0» и «1» относятся к Солнцу и более слабой звезде соответственно. Данная прямая показана пунктиром на диаграмме. Для наглядности она там продлена в область более слабых звезд. Там данная прямая зависимость нарушается, но эти звезды нас уже меньше интересуют как возможные спутники вследствие их слабости.
Предположим, у звезды — копии Солнца со светимостью $J_0$ есть звезда-спутник с яркостью $J=b\cdot J_0$ (0< $b\leq$ 1). Тогда абсолютная звездная величина в полосе V для спутника составит
$$M_1 - M_0 = -2.5 \lg b$$
Такие же разности будут иметь место для видимой звездной величины в полосе V. С учетом отсутствия межзвездного поглощения мы можем записать выражение для звездных величин в полосе B:
$$(B-V)_1 - (B-V)_0 = K(M_1 - M_0) = -(1/2) \lg b;$$
$B_1 - B_0 = (B-V)_1 - (B-V)_0 + (V_1 - V_0);$
$B_1 - B_0 = (K+1) (M_1 - M_0) = -3 \lg b;$
Здесь мы учли, что абсолютные звездные величины M приведены в полосе V. Мы видим, что соотношение яркостей двух звезд в полосе B составит
$$\frac{J_{\rm Bl}}{J_{\rm B0}} = 10^{-0.43 \lg b} = b^{1.2}.$$
Результирующий показатель цвета двойной системы (по сравнению с солнечным) будет равен
$$(B-V) - (B-V)_0 = -2.5 \lg \frac{1+b^{1.2}}{1+b}.$$
Абсолютная звездная величина системы (по сравнению с солнечной) составит
$$M - M_0 = -2.5 \lg (1+b)$$
Мы получили выражения для обеих величин, стоящих по осям диаграммы. Для того, чтобы определить положение двойной системы, нужно вычислить эти величины для разных значений b от 0 до 1 и нарисовать соответствующий график.
Максимальный сдвиг по абсолютной звездной величине равен $2.5 \lg 2 = 0.75$ , что соответствует очевидному случаю двух одинаковых звезд. Показатель цвета, а значит и измеренная по нему температура, не изменятся. Максимальный сдвиг по показателю цвета составляет примерно 0.055. По диаграмме видим, что это соответствует уменьшению эффективной температуры на 200 K.
Ответ
Максимальный сдвиг по абсолютной звездной величине равен $2.5 \lg 2 = 0.75$ , что соответствует очевидному случаю двух одинаковых звезд. Показатель цвета, а значит и измеренная по нему температура, не изменятся. Максимальный сдвиг по показателю цвета составляет примерно 0.055. По диаграмме видим, что это соответствует уменьшению эффективной температуры на 200 K.