где $T_{\rm S}$ — период осевого вращения Земли или продолжительность звездных суток для неподвижного наблюдателя (23 часа 56 минут и 4 секунды). За счет орбитального движения Земли вокруг Солнца солнечные сутки $T_0$ будут несколько длиннее — ровно 24 часа. Соответствующая угловая скорость видимого суточного движения Солнца (без учета уравнения времени) равна

$$\Omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = \frac{2\pi}{T_S} - \frac{2\pi}{T}.$$

Здесь T – продолжительность года. При движении поезда на восток (в ту же сторону, что и Земля вокруг своей оси) наблюдатель получает дополнительную угловую скорость, равную линейной скорости v, деленной на радиус окружности вокруг оси Земли, по которой происходит движение:

$$\omega = \frac{v}{R\cos\varphi}.$$

Здесь R — радиус Земли, $\phi$ — широта места наблюдения. Видимые угловые перемещения звезд и Солнца в ходе суточного движения при наблюдении с поезда увеличатся на эту величину:

$$\Omega'_{S} = \Omega_{S} + \omega;$$

$\Omega'_{0} = \Omega_{0} + \omega.$

Одна секунда в той или иной шкале — это время, за которое объект в ходе суточного вращения повернется на угол $\theta$ , равной одной временной секунде (или 15"). Физическая секунда $t_0$ — это секунда в шкале солнечного времени для неподвижного наблюдателя (уравнением времени мы пренебрегаем):

$$t_0 = \frac{\theta}{\Omega_0}$$

Длительность звездной и солнечной секунды для наблюдателя на поезде составят:

$$t'_{S} = \frac{\theta}{\Omega'_{S}}; \quad t'_{0} = \frac{\theta}{\Omega'_{0}}.$$

Выразим одну физическую секунду в полученных выше единицах:

$$\frac{t_0}{t'_S} = \frac{\Omega'_S}{\Omega_0} = \frac{T_0}{T_S} \left( 1 + \frac{vT_S}{2\pi R \cos \varphi} \right) = 1.105;$$

$$\frac{t_0}{t'_0} = \frac{\Omega'_0}{\Omega_0} = 1 + \frac{vT_0}{2\pi R \cos \varphi} = 1.103.$$

Итак, за одну физическую секунду наблюдатель этого поезда зафиксирует 1.105 звездных и 1.103 солнечных секунды.

Итак, за одну физическую секунду наблюдатель этого поезда зафиксирует 1.105 звездных и 1.103 солнечных секунд.