Венера обгоняет Землю в своем орбитальном движении на 90°. Обратим внимание, что Венера не находится в наибольшей элонгации (она произошла в октябре 2015 года). Угловое расстояние Венеры (и Сатурна) от Солнца в небе Земли 9 января равно:

$$\alpha = \arctan \frac{r_{\rm V}}{r} = 35.9^{\circ}.$$

Здесь r и $r_{\rm V}$ — радиусы орбит Земли и Венеры. Для дальнейшего решения задачи нам необходимо найти расстояние от Земли до Сатурна D в этот момент. Это можно сделать с помощью теоремы косинусов, можно упростить вычисления, проведя перпендикуляр от Солнца на линию "Земля-Сатурн", обозначив его l. Искомое расстояние составит

$$D = \sqrt{r^2 - l^2} + \sqrt{R^2 - l^2} = r \cos\alpha + \sqrt{R^2 - r^2 \sin^2 \alpha} \approx r \cos\alpha + R.$$

Здесь R — радиус орбиты Сатурна. В последнем равенстве мы учли, что величина $r^2 \sin^2 \alpha$ составляет менее 0.01 от $R^2$ . Расстояние до Сатурна получается равным 10.34 а.е. (если не делать упрощения, оно получится практически таким же — 10.33 а.е.). Найдем далее разность гелиоцентрических долгот Сатурна и Земли $\gamma$ . Это можно сделать с помощью теоремы синусов, а можно вновь воспользоваться геометрическим приемом, проведя перпендикуляр от Сатурна к продолжению линии "Земля-Солнце" и обозначив его длину как h. Учитывая, что угол $\gamma$ больше 90°, запишем выражение для него:

$$\gamma = 180^{\circ} - \arcsin\frac{h}{R} = 180^{\circ} - \arcsin\frac{D\sin\alpha}{R} = 180^{\circ} - \arcsin\left(\sin\alpha + \frac{r}{R}\cos\alpha\sin\alpha\right) = 140.6^{\circ}.$$

В настоящий момент Земля отстает от Сатурна в своем движении на этот угол. Учитывая, что Земля обгоняет Сатурн на целый оборот за синодический период Сатурна S, с учетом предположения о круговых орбитах можно определить, через сколько времени Земля догонит Сатурн в орбитальном движении:

$$T = S \frac{\gamma}{360^{\circ}} = 148 \text{ cyr}.$$

Получаем, что ближайшее противостояние Сатурна наступит 5 июня. Несмотря на ряд упрощений (круговые орбиты, приближенные вычисления), мы получили ответ, очень близкий к истинному – реальное противостояние Сатурна состоится 3 июня 2016 г.

Задачу можно решить приближенно, считая Сатурн очень далекой неподвижной планетой. В этом случае угол $\gamma$ есть просто $180^{\circ}$ – $\alpha$ = $144.1^{\circ}$ , а синодический период Сатурна S равен земному году. Тогда мы получаем, что противостояние произойдет через 146 дней, то есть ровно 3 июня, то есть в итоге мы имеем даже более точный ответ. Причина этого в том, что в соответствии с условием задачи, не был учтен эксцентриситет орбиты Сатурна и то, что в 2016 году его расстояние от Солнца существенно больше среднего (10.01 a.e.), что также слегка смещает итоговую дату противостояния.

Получаем, что ближайшее противостояние Сатурна наступит 5 июня.