№ 9.6Задача 9.6
6. Условие. На рисунке показано перемещение ярчайшей звезды ночного неба Сириус среди далеких звезд с момента начала наблюдений (годовые параллактические колебания вычтены). На рисунке заметен эффект наличия спутника этой звезды. Оцените массу этого спутника, считая ее существенно меньшей массы самого Сириуса, а орбиту – лежащей в плоскости рисунка. Масса Сириуса равна 2 массам Солнца, расстояние до него – 2.64 пк.
6. Решение. Расстояние до Сириуса равно 2.64 пк, это означает, что одна угловая секунда в плоскости рисунка соответствует расстоянию 2.64 а.е. Траектория Сириуса отличается от прямой линии из-за его вращения вокруг центра масс двойной системы. Период этого вращения T, как видно из рисунка, чуть больше 50 лет (мы вполне можем использовать это значение). По условию задачи, мы предполагаем, что вращение происходит в плоскости рисунка. Оно происходит по эллипсу. Для еще большего упрощения предположим, что линия апсид этого эллипса (линия, соединяющая точки перицентра и апоцентра) перпендикулярна собственному движению Сириуса (это близко к истине, в чем можно убедиться по примерно постоянной скорости движения звезды по своей траектории).
Решение
Проведем на рисунке прямую линию, соответствующую движению центра масс двойной системы и отметим перицентрическое $(r_{\rm P})$ и апоцентрическое $(r_{\rm A})$ расстояния Сириуса. Так как нас в дальнейшем будет интересовать только сумма этих величин, высокая точность проведения прямой не требуется (можно вообще провести две касательных к кривой и сразу искать суммарный отрезок). Большая полуось орбиты Сириуса $A = (r_{\rm P} + r_{\rm A})/2$ составляет примерно 2.5", что соответствует 6.5 а.е. на расстоянии Сириуса. Среднее расстояние между компонентами системы равно
$$a_0 = a + A = \frac{A(M+m)}{m},$$
где M и m — массы Сириуса и его спутника, a — большая полуось орбиты спутника. Здесь мы учли, что из определения центра масс AM = am. Из III закона Кеплера имеем:
Масса спутника Сириуса составляет
$$m = \left(\frac{4\pi^2 (M+m)^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3} \approx \left(\frac{4\pi^2 M^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3}.$$
Здесь мы учитываем то, что масса спутника, по условию задачи, существенно меньше массы Сириуса. Масса спутника получается равной $1.5 \cdot 10^{30}$ кг или 3/4 массы Солнца, что оправдывает это предположение. Реальная масса Сириуса В немного больше, она равна одной массе Солнца. Разница определяется, в основном, предположением о совпадении плоскости орбиты и плоскости рисунка и перпендикулярностью линии апсид и скорости движения центра масс.
Ответ
$m = \left(\frac{4\pi^2 (M+m)^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3} \approx \left(\frac{4\pi^2 M^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3}$