№ 10.1Задача 10.1
- 1. Условие. Астроном проводит визуальные наблюдения в телескоп с увеличением 10 крат. Определите максимально возможную звездную величину самых слабых звезд, которые он может увидеть.
- 1. Решение. Нас интересует предельно возможная звездная величина, поэтому будем считать, что атмосферные эффекты (размытие, поглощение, фон неба) не сказываются на наблюдениях. Обозначим диаметры объектива и зрачка человеческого глаза как D и $d_0$ . Диаметр выходного пучка света от звезды d будет равен $D/\Gamma$ , где $\Gamma$ увеличение, создаваемое окуляром телескопа. Если диаметр выходного пучка будет не больше, чем $d_0$ (увеличение не меньше равнозрачкового $\Gamma \ge D/d_0$ ), то в глаз наблюдателя попадет весь свет, собранный объективом. Обозначив поток энергии от звезды до попадания в телескоп как $F_0$ , запишем выражение для количества энергии, зарегистрированной наблюдателем в единицу времени:
$$J = F_0 \frac{\pi D^2}{4} = F_0 \frac{\pi d_0^2}{4} \left(\frac{D}{d_0}\right)^2 = J_0 \left(\frac{D}{d_0}\right)^2, \quad D \le d_0 \Gamma.$$
Решение
Здесь $J_0$ — количество энергии от звезды, которое за то же время зарегистрирует невооруженный глаз. Если увеличение будет меньше, чем $D/d_0$ , выходной зрачок d будет больше зрачка глаза $d_0$ , и не вся энергия, собранная телескопом, попадет в глаз наблюдателя. Он зарегистрирует ее лишь часть:
$$J = F_0 \frac{\pi D^2}{4} \left( \frac{d_0}{d} \right)^2 = \frac{\pi d_0^2}{4} \left( \frac{D}{d} \right)^2 = J_0 \Gamma^2, \quad D > d_0 \Gamma.$$
Получается, что при фиксированном увеличении $\Gamma$ для телескопов с малыми диаметрами объектива D количество собранного света будет возрастать пропорционально $D^2$ , пока не достигнет величины $J_0\Gamma^2$ . Дальнейший рост диаметра объектива не будет изменять величину J, так как она уже будет описываться второй формулой. В итоге, телескоп поможет различить объекты в $\Gamma^2$ раз более слабые, чем человеческий глаз. Предельная звездная величина составит
$$m = m_0 + 2.5 \lg \Gamma^2 = m_0 + 5 \lg \Gamma = 11.$$
3десь $m_0$ — предельная звездная величина для невооруженного глаза.
Ответ
$m = m_0 + 2.5 \lg \Gamma^2 = m_0 + 5 \lg \Gamma = 11.$