Задача 11.3

3. Условие. Задолго до подлета межпланетной станции к Нептуну со стороны Солнца диск его спутника Тритон различим с борта станции в некоторый телескоп, причем выглядит таким же (по видимым размерам и яркости), как сам Нептун без телескопа. Найдите диаметр объектива телескопа и его увеличение. Геометрическое альбедо Нептуна и Тритона равно 0.41 и 0.76 соответственно.
3. Решение. По условию задачи, станция подлетает к Нептуну со стороны Солнца, поэтому планета и все ее спутники, видимые в тот или иной момент, будут иметь полную фазу, то есть выглядеть как круглые диски. Для углового диаметра $\delta$ и яркости объекта j (или плотности потока энергии от него) в этом случае справедливы соотношения:

$$\delta = \frac{\Delta}{L}; \quad j = I \frac{A\pi\Delta^2}{4\pi L^2} = I \frac{A\Delta^2}{4L^2}.$$

Здесь I — поток солнечного излучения вблизи объекта, L — расстояние до него, $\Delta$ и A — диаметр и геометрическое альбедо объекта. Отметим, что в случае использования сферического альбедо в предположении одинакового отражения света во все стороны, в знаменателе появился бы еще множитель 4. Это не меняло бы дальнейшее решение задачи, так как это в равной степени относилось бы к Нептуну и Тритону.

По условию задачи, космический аппарат находится еще достаточно далеко от системы "Нептун-Тритон", поэтому расстояния до Нептуна и Тритона можно считать одинаковыми. Также одинакова для них величина I. При использовании телескопа с диаметром объектива D и увеличением $\Gamma$ видимый диаметр объекта будет равен

$$\delta' = \delta \cdot \Gamma$$

Видимая яркость объекта зависит от параметров телескопа, который при этом используется. Если увеличение телескопа $\Gamma$ больше отношения диаметров телескопа (D) и зрачка глаза (d), то вся собранная объективом световая энергия попадет в глаз наблюдателя:

$$j'=j\frac{D^2}{d^2}, \quad \Gamma \ge \frac{D}{d};$$

Вспомним, что величина j соответствует наблюдениям невооруженным глазом. Если же увеличение меньше, то в глаз попадет лишь энергия, собранная центральной частью объектива диаметром $d \cdot \Gamma$ . Тогда

$$j'=j\Gamma^2$$ , $\Gamma < \frac{D}{d}$ .

По условию задачи, Тритон (индекс 2) выглядит в телескоп таким же, как Нептун (индекс 1) без телескопа, то есть

$$\delta'_2 = \delta_1, \quad j'_2 = j_1.$$

Тогда равенства видимых диаметров мы имеем:

$$\frac{\delta'_2}{\delta_1} = 1 = \frac{\Gamma \delta_2}{\delta_1} = \frac{\Gamma \Delta_2}{\Delta_1}; \quad \Gamma = \frac{\Delta_1}{\Delta_2} = 18.$$

Из равенства видимой яркости:

$$\frac{j'_2}{j_1} = 1 = \frac{j_2}{j_1} \frac{D^2}{d^2} = \frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{D^2}{d^2} \cdot \frac{\Delta_2^2}{\Delta_1^2} = \frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{D^2}{d^2} \cdot \frac{1}{\Gamma^2}, \quad \Gamma \ge \frac{D}{d};$$

$$\frac{j'_2}{j_1} = 1 = \frac{j_2}{j_1} \Gamma^2 = \frac{A_2}{A_1} \cdot \Gamma^2 \cdot \frac{\Delta_2^2}{\Delta_1^2} = \frac{A_2}{A_1} \cdot \Gamma^2 \cdot \frac{1}{\Gamma^2} = \frac{A_2}{A_1}, \quad \Gamma < \frac{D}{d}.$$

Во втором случае мы пришли к противоречию, так как геометрическое альбедо у Нептуна и Тритона разное, их отношение не равно единице. Для первого случая имеем:

$$D = d\Gamma \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = d\frac{\Delta_1}{\Delta_2} \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = d \cdot 13.5 = 8 \text{ cm}.$$

Диаметр зрачка глаза принят равным 6 мм (необходимо удостовериться, что выполняется соотношение $\Gamma \ge D/d$ ). Обратим внимание, что решение задачи существует только при $A_2 \ge A_1$ (геометрическое альбедо у спутника не меньше, чем у планеты).

№ 11.3Задача 11.3