Пусть в момент нижнего соединения Меркурий располагается на расстоянии l от Солнца. Определим его максимальное расстояние от плоскости орбиты Земли, при котором может наступить прохождение по диску Солнца (см. рисунок):

Здесь R — радиус Солнца, $a_0$ — радиус орбиты Земли. Орбита Меркурия наклонена на угол i к плоскости эклиптики (причем этот угол невелик), поэтому мы можем сразу определить максимальное линейное расстояние Меркурия от узла орбиты, выразив угол i в радианах:

$$d = \frac{h}{i} = R \frac{a_0 - l}{a_0 i}.$$

Для ноябрьских прохождений в перигелии (далее — индекс "1") и майских прохождений в афелии (далее — индекс "2") эта величина будет отличаться. Обозначив большую полуось и эксцентриситет орбиты Меркурия как a и e соответственно, запишем:

$$l_1 = a(1-e); l_2 = a(1+e);$$

$$\frac{d_1}{d_2} = \frac{a_0 - a(1-e)}{a_0 - a(1+e)} = 1.3.$$

Определим максимальное угловое расстояние Меркурия и Земли от линии узлов, при котором может состояться ноябрьское или майское прохождение:

$$\gamma_{1} = \frac{d_{1}}{l_{1}} = R \frac{a_{0} - a (1 - e)}{a_{0} i a (1 - e)}; \quad \gamma_{2} = \frac{d_{2}}{l_{2}} = R \frac{a_{0} - a (1 + e)}{a_{0} i a (1 + e)};$$

$$K = \frac{\gamma_{1}}{\gamma_{2}} = \frac{a_{0} - a (1 - e)}{a_{0} - a (1 + e)} \cdot \frac{(1 + e)}{(1 - e)} = \frac{a_{0} (1 + e) - a (1 - e^{2})}{a_{0} (1 - e) - a (1 - e^{2})} \approx \frac{a_{0} (1 + e) - a}{a_{0} (1 - e) - a} \approx 2.$$

Здесь мы также учли, что эксцентриситет орбиты Меркурия невелик, а большая полуось его орбиты a заметно меньше радиуса орбиты Земли $a_0$ .

Временной интервал, в котором могут произойти прохождения, соответствует дуге $2\gamma_1$ в ноябре и дуге $2\gamma_2$ в мае. В градусной мере эти интервалы составляют 5° и 10°, а отрезки времени, в которых возможно наступление прохождений, составляют 5 дней для мая и 10 дней для ноября. С хорошей степенью точности полученное число 2 можно считать ответом на данную задачу.

Приведем также полное и точное решение. Меркурий проходит отрезки $d_1$ и $d_2$ с разными скоростями. Запишем выражения для скорости Меркурия в перигелии и афелии орбиты:

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{a} \cdot \frac{1+e}{1-e}}; \quad v_2 = \sqrt{\frac{GM}{a} \cdot \frac{1-e}{1+e}}.$$

Здесь M — масса Солнца. Определим время, которое Меркурий проводит на указанных отрезках своей орбиты:

$$t_{1} = \frac{2d_{1}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{4aR^{2}}{GMa_{0}^{2}i^{2}} \cdot \frac{1-e}{1+e}} (a_{0} - a(1-e)); \quad t_{2} = \frac{2d_{2}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{4aR^{2}}{GMa_{0}^{2}i^{2}} \cdot \frac{1+e}{1-e}} (a_{0} - a(1+e));$$

$$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{1-e}{1+e} \cdot \frac{a_{0} - a(1-e)}{a_{0} - a(1+e)} = 0.86.$$

Получается, что на дуге орбиты, соответствующей майским прохождениям, Меркурий проводит даже больше времени, чем на дуге ноябрьских прохождений. Теперь нужно учесть то, что вероятность наступления самого нижнего соединения в разных точках орбиты разная, и определяется это разностью угловых скоростей Меркурия в перигелии и афелии орбиты и Земли.

Обозначим дугу на орбите Меркурия, в которой могут наступить прохождения, как AB. Пусть Меркурий в какой-то момент пришел в точку орбиты A – начальную точку дуги, в которой возможны ноябрьские прохождения. Очевидно, что это происходит с ним один раз за оборот вокруг Солнца. Определим величину дуги орбиты, в которой в этот момент должна находиться Земля, чтобы прохождение состоялось. Ввиду равномерного вращения Земли по круговой орбите (по условию задачи) величина данной дуги будет пропорциональна вероятности наступления прохождения (точнее говоря, вероятность будет равна угловой длине дуги, деленной на $2\pi$ ).

Стартовая точка этой дуги для Земли, очевидно, точка $\mathbf{A'}$ , соответствующая той же гелиоцентрической долготе. Если Земля окажется там, касательное прохождение состоится в этот же момент. Другая граница дуги для Земли — некоторая точка $\mathbf{C'}$ (см. рисунок), опережающая $\mathbf{A'}$ по орбитальному движению Земли. Если Земля окажется в ней, Меркурий догонит Землю через некоторое время, находясь в точке $\mathbf{B}$ . Земля окажется в точке $\mathbf{B'}$ , и вновь состоится касательное прохождение Меркурия по диску Солнца. Нам необходимо вычислить угол $\theta_1$ , соответствующей дуге $\mathbf{A'C'}$ на орбите Земли.

Меркурий преодолевает расстояние AB (дуга $2\gamma_1$ ) за время $t_1$ (см. выше). За это время Земля сместится на угол

$$\lambda_1 = \sqrt{\frac{GM}{a_0^3}} t_1 = \sqrt{\frac{4aR^2}{a_0^5 t^2} \cdot \frac{1-e}{1+e}} (a_0 - a(1-e)).$$

Искомый угол, соответствующий дуге А'С', равен

$$\theta_1 = 2\gamma_1 - \lambda_1 = \frac{2d_1}{a(1-e)} - \lambda_1 = 2R \frac{a_0 - a(1-e)}{a_0 i a(1-e)} - \sqrt{\frac{4aR^2}{a_0^5 i^2} \cdot \frac{1-e}{1+e}} (a_0 - a(1-e)).$$

После некоторых преобразований имеем

$$\theta_1 = \frac{2R(a_0 - a(1 - e))}{ia_0 a(1 - e)} \left(1 - \sqrt{\frac{a^3(1 - e)^3}{a_0^3(1 + e)}}\right).$$

Аналогичная формула для майской дуги получается сменой всех знаков перед величиной е:

$$\theta_2 = \frac{2R(a_0 - a(1+e))}{ia_0 a(1+e)} \left(1 - \sqrt{\frac{a^3(1+e)^3}{a_0^3(1-e)}}\right).$$

Отношение вероятностей и частот ноябрьских и майских прохождений составляет

$$K = \frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{(a_0 - a(1-e))(1+e)}{(a_0 - a(1+e))(1-e)} \cdot \frac{1 - \sqrt{\frac{a^3(1-e)^3}{a_0^3(1+e)}}}{1 - \sqrt{\frac{a^3(1+e)^3}{a_0^3(1-e)}}}.$$

Эту формулу можно записать в более простом виде:

$$K = \frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{a_0(1+e) - a(1-e^2)}{a_0(1-e) - a(1-e^2)} \cdot \frac{\sqrt{(1-e^2)} - (a/a_0)^{3/2}(1-e)^2}{\sqrt{(1-e^2)} - (a/a_0)^{3/2}(1+e)^2} = 2.59.$$

Полученные формулы достаточно громоздкие. Но если в них пренебречь слагаемыми, пропорциональными $e^2$ и $(a/a_0)^{3/2}$ , то они сведутся к уже знакомому для нас виду:

$$K \approx \frac{a_0(1+e)-a}{a_0(1-e)-a} = 2.$$

Получаем, что ноябрьские прохождения по частоте более чем вдвое превышают майские. В реальности, линия апсид орбиты Меркурия строго не совпадает с линией узлов, и данное отношение меньше 2.59 и лишь незначительно превосходит 2. Майские прохождения Меркурия по диску Солнца происходят в среднем дважды за период повторяемости в 46 лет – это действительно редкие явления. Ноябрьские прохождения Меркурия за тот же период обычно случаются четырежды.

2.59.