№ 9.4Задача 9.4
4. Условие. Короткопериодическая комета, находящаяся в афелии своей орбиты, вступает в противостояние с Солнцем, располагаясь в плоскости эклиптики. Возможно ли будет увидеть ее в местную полночь на средних широтах во время ближайшего прохождения перигелия орбиты, если большая полуось орбиты равна 2.92 а.е., а эксцентриситет — 0.80? Чему будет равно расстояние между Землей и кометой в момент прохождения перигелия? Орбиту Земли считать круговой. (Е.Н. Фадеев)
4. Решение. Для ответа на вопрос задачи необходимо определить, какое взаимное положение займут Земля, Солнце и комета в момент прохождения последней перигелия. В начальный момент времени эти три тела располагаются на одной линии, причем Земля находится в между Солнцем и кометой (положение 1 на рисунке). Точку перигелия своей орбиты комета достигнет через половину своего орбитального периода. Отрезок времени между афелием и перигелием можно определить из III закона Кеплера
$$T(200 \text{ bi}) = \frac{a^{3/2}}{2} = 2.5.$$
Решение
Здесь a — большая полуось орбиты кометы в астрономических единицах. К моменту, когда комета будет проходить перигелий, Земля совершит 2.5 оборота и окажется в противоположной точке своей орбиты по отношению к своему начальному положению. Необходимо выяснить, как будет расположена комета. Поскольку точки перигелия и афелия располагаются на одной прямой, то, раз в афелии комета находилась в плоскости эклиптики, то и в перигелии она также будет в этой плоскости, вне зависимости от того, как наклонена её орбита. Причем, все три тела опять окажутся на одной линии, Земля и комета будут вновь с одной стороны от Солнца (положение 2 на рисунке). Определим перигелийное расстояние кометы:
$$p = a (1 - e) = 0.58$$
Расстояние перигелия кометы меньше астрономической единицы. Комета располагается в плоскости эклиптики ближе к Солнцу, чем Венера. Это уже само по себе означает, что комета, как и Венера, не будет видна в полночь в средних широтах. К тому же, комета будет находиться между Землей и Солнцем и окажется на небе в нижнем соединении с ним. Отсюда делаем вывод, что расстояние от Земли до кометы составит 0.42 а.е.
4. Система оценивания. Первым шагом решения задачи является определение начального положения Солнца, Земли и кометы (1 балл). Второй этап решения связан с определением взаимного положения этих объектов во время прохождения кометой перигелия. Этот этап оценивается в 3 балла, из которых 1 балл ставится за указание, что это произойдет через половину орбитального периода кометы, 1 балл — за вычисление этого времени по III закону Кеплера, и еще 1 балл — за правильное определение положения Земли в момент перигелия кометы. Если за время перелета принимается не половина, а полный период обращения кометы, то все 3 балла за второй этап решения не выставляются.
Вычисление перигелийного расстояния кометы оценивается в 2 балла. Далее, 1 балл ставится за вывод о том, что комета не будет видна в полночь с Земли и 1 балл — за определение расстояния до кометы. Вывод о невидимости кометы в момент перигелия без достаточных обоснований оценивается в 1 балл.
Участники могут сразу получить величину перигелийного расстояния кометы (0.58 а.е.) и сделать вывод о том, что комета не будет видна в полночь в небе средних широт. Такой вывод считается обоснованным и оценивается в те же 3 (2+1) балла. Однако, для определения расстояния между Землей и кометой им нужно будет провести первые два этапа решения, оцениваемые в 4 балла, и найти само расстояние (1 балл).
Ответ
0.42 а.е.