Здесь h – высота светила, δ – его склонение, индекс i принимает значения от 1 до 3. Мы видим, что значение широты для всех трех моментов одинаково. Если смещение наблюдателя по долготе невелико, то можно считать, что прямолинейное движение по поверхности Земли есть просто движение вдоль параллели. Для нахождения его скорости нужно определить соотношение долгот наблюдателя во все три момента. В момент верхней кульминации светила звездное время в точке наблюдения S равно прямому восхождению светила α. Для звездного времени также справедливо соотношение:

$$S = S_0 + \lambda + UT,$$

где λ – долгота места, а S0 – звездное время, соответствующее средней солнечной полуночи. Величина S0 меняется медленно (на 4 минуты в день), и при точности регистрации моментов кульминации в 1 минуту мы можем не учитывать ее изменение за 2 часа. Тогда мы можем определить величины

$$\Lambda_{i} = (S_0 + \lambda)_{i} = S_{i} - UT_{i}.$$

Для трех моментов, указанных в условии задачи, эта величина составляет 21ч37м, 21ч31м и 21ч27м. Для удобства здесь мы добавили к ней 24 часа, чтобы избежать отрицательных значений. Итак, долгота наблюдателя уменьшается на 10 минут за 2 и 1/4 часа или примерно на 4.5 минуты в час. В радианной мере это соответствует 0.020 радиан в час, при этом наблюдатель движется на запад.

К этому выводу можно прийти и другим путем. Пренебрегая разницей между звездными и солнечными сутками, мы можем сказать, что для неподвижного наблюдателя интервал времени между кульминациями звезд равен разнице их прямых восхождений. В этом случае между кульминациями Веги и Альтаира прошло бы 1ч14м, а между кульминациями Альтаира и Денеба – 50 минут. Для двигающегося наблюдателя эти интервалы составили 1ч20м и 54 минуты. Тем самым, движение небесной сферы для него происходит со скоростью 0.925 от ее нормальной скорости. Эти 7.5% и дает движение наблюдателя. Его угловая скорость оси Земли равна 0.075 часа или 4.5 минут в час.

Перемещение наблюдателя невелико, и путь вполне можно считать отрезком прямой линии. Длина дуги параллели γ на широте ϕ соответствует линейному расстоянию

$$l = R \gamma \cos \varphi$$

Здесь R – радиус Земли. В итоге, скорость составляет примерно 80 км/час. Очевидно, мы не рассматриваем варианты преодоления целой окружности параллели за время порядка одного часа, так как движение со скоростью в несколько километров в секунду по поверхности Земли невозможно.

6. Система оценивания. Первая часть решения состоит в вычислении широты наблюдателя во все три момента и выводе о том, что эта широта постоянна. Этот этап оценивается в 2 балла. Если вывод о постоянной широте не делается, то эти 2 балла не выставляются. Также в этом случае не ставится 1 балл за определение направления движения наблюдателя (последний этап решения). Общая оценка в этом случае не может превышать 5 баллов.

Далее участники должны получить выражение для соотношения долгот трех пунктов (или долготы каждого из них с точностью до постоянного слагаемого), которое оценивается в

3 балла. Вместо этого участники могут получить величину угловой скорости наблюдателя относительно оси Земли или соотношения его линейной скорости к линейной скорости осевого вращения Земли. Каждый из этих способов является правильным.

Вычисление скорости движения наблюдателя оценивается еще в 3 балла. Если при этом ошибочно указано направление движения, как сказано выше, оценка уменьшается на 1 балл. Если при вычислении скорости не был учтен множитель cos ϕ, оценка уменьшается на 2 балла.

При оценивании решения необходимо учитывать, что точность определения угловой и линейной скорости движения наблюдателя в данной ситуации не может быть лучше 10%. Поэтому отклонения ответа от приведенного выше, вызванные округлениями в ходе решения, не могут быть основанием для снижения оценки.

Если участник рассматривает случаи преодоления наблюдателем целой окружности параллели Земли за один час, это не влияет на оценку ни в сторону увеличения, ни в сторону уменьшения. Оценивается лишь правильный вывод основного решения с малой скоростью.

80 км/час