№ 10.1Задача 10.1
- 1. Условие. Первичное кольцо радуги образуется каплями воды, преломляющими свет Солнца под углом 138° по отношению к изначальному направлению распространения излучения. На каких широтах на Земле первичная радуга никогда не может быть видна на небе в истинный солнечный полдень? Рельефом Земли, рефракцией, угловыми размерами Солнца и толщиной радуги пренебречь. Считать, что климатические условия позволяют радуге появляться в любом месте Земли в любой сезон года. (О.С. Угольников)
- 1. Решение. Угол преломления света каплей воды больше 90°, поэтому радуга появляется на небе в области, противоположной Солнцу. Она выглядит как кольцо с центром в противоположной точке и радиусом
$$\gamma = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$$
Решение
Если в истинный солнечный полдень высота Солнца над горизонтом выше угла γ, то противоположная точка неба окажется глубоко под горизонтом, и первое кольцо радуги не будет видно на небе. Чтобы данное условие выполнялось в любой сезон года, нужно, чтобы верхняя кульминация Солнца происходила выше даже в день зимнего солнцестояния для данного полушария. В северном полушарии высота Солнца над горизонтом в полдень 22 декабря составляет
$$h = 90^{\circ} - \varphi - \varepsilon$$ ,
где ϕ – широта места (положительная), а ε – угол наклона экватора к эклиптике (около 23°). Чтобы выполнилось условие h>γ, широта должна быть
$$\varphi < 90^{\circ} - \gamma - \varepsilon = +25^{\circ}$$
Аналогично, для южного полушария и дня 21 июня мы получаем ϕ > –25°. Итак, условие задачи выполняется для пояса Земли, расположенного между параллелями с широтой ±25°.
1. Система оценивания. Начальным этапом решения является указание расположения радуги на небе как кольца с радиусом 42° вокруг противосолнечной точки неба (или кольца с радиусом 138° вокруг Солнца). Данный этап оценивается в 2 балла. Формулировка условия видимости верхнего края радуги на небе (высота Солнца менее 42°) оценивается в 2 балла. Вывод о выполнении условия задачи в каждом из двух полушарий оценивается по 2 балла
(всего – 4 балла). Участники олимпиады могут пользоваться более точным значением угла ε (23.4° или 23.5°) с итоговым ответом 24.5° или 24.6°, что не обязательно, но и не является ошибкой.