Задача 10.3 / 11.3

3. Условие. Ученые будущего предложили фантастический проект, в ходе которого весь грунт на поверхности Марса электрохимическим способом был бы разложен на свободные металл и кислород, и таким образом была бы создана кислородная атмосфера на планете. Какова толщина слоя грунта, который нужно переработать, чтобы давление такой кислородной атмосферы у поверхности Марса оказалось таким же, как атмосферное давление у поверхности Земли? Считать, что грунт Марса состоит из минерала лимонита с химической формулой $Fe_2O_3$ и плотностью $3.5 \text{ г/см}^3$ . Атомные веса железа и кислорода составляют 56 и 16 соответственно. (О.С. Угольников)
3. Решение. Атмосферное давление у поверхности Земли p составляет $10^5$ Па и равно весу столба атмосферы площадью $1 \text{ м}^2$ . Все то же самое будет относиться и к Марсу, но нельзя забывать, что ускорение свободного падения g на Марсе другое. Масса этого столба с площадью основания $1 \text{ м}^2$ составит:

$$m_{\rm S} = \frac{p}{g} = \frac{pR^2}{GM}.$$

Здесь M и R — масса и радиус Марса. Данное выражение можно получить другим, более сложным способом. Концентрация атомов в атмосфере у поверхности Марса равна

$$n = \frac{p}{kT}.$$

Здесь k — постоянная Больцмана, T — температура атмосферы. Число атомов в столбе атмосферы единичной площади есть произведение концентрации на высоту однородного столба атмосферы H:

$$n_{\rm S} = nH = \frac{p}{kT} \cdot \frac{\Re T}{\mu g} = \frac{N_{\rm A} p}{\mu g} = \frac{p}{mg}.$$

Здесь $N_{\rm A}$ — постоянная Авогадро, $\mu$ и m — молярная и молекулярная масса газа. Учитывая, что $m_{\rm S} = m \cdot n_{\rm S}$ , мы вновь приходим к первой формуле решения задачи.

Масса столба оказывается равной $2.7 \cdot 10^4$ кг/м2. Обратим внимание, что высота атмосферы и толщина грунта существенно меньше радиуса планеты, ускорение свободного падения мы считаем постоянным. Массовая доля кислорода в молекуле $Fe_2O_3$ равна

$$\eta = \frac{3A_{\rm O}}{2A_{\rm Fe} + 3A_{\rm O}} \approx 0.3.$$

Здесь $A_{\rm O}$ и $A_{\rm Fe}$ — атомные веса кислорода и железа. Чтобы наполнить столб атмосферы требуемым количеством кислорода, нужно переработать столб грунта Марса той же площади (так как обработке подвергается вся планета) глубиной h. Масса этого столба будет равна

$$m_{\rm GS} = \frac{m_{\rm S}}{\eta} = m_{\rm S} \, \frac{2A_{\rm Fe} + 3A_{\rm O}}{3A_{\rm O}}.$$

Масса столба получается равной $9 \cdot 10^4$ кг/м2. Теперь мы можем найти его глубину

$$h = m_{\rm GS}/\rho = 25 \text{ M}.$$

Здесь $\rho$ – плотность грунта, которую нужно перевести в нужные единицы (при выполнении решения в системе СИ – в кг/м3).

3. Система оценивания. Существует несколько подходов к решению данного задания. Участники олимпиады могут вычислять требуемую массу кислорода как в расчете на единицу площади (1 м² или 1 см² в зависимости от используемой системы единиц), так и в расчете на всю поверхность Марса. Правильное определение массы атмосферы на единицу площади в виде формулы или числа оценивается в 3 балла. Эффективным и самым простым методом выполнения этого этапа является представление давления как веса столба атмосферы единичной площади. Участники могут проводить выкладки через величину однородного столба атмосферы и даже пытаться вычислить температуру Марса. Это излишние шаги, но при условии правильности вычислений они оцениваются в полной мере.

Вычисление массы грунта на единичную площадь (или площадь поверхности Марса) оценивается в 2 балла. Если при этом участник олимпиады не учитывает или неправильно учитывает количество атомов кислорода и железа в молекуле $Fe_2O_3$ , данные 2 балла не ставятся, но другие этапы решения оцениваются в полной мере. Наконец, определение глубины переработки грунта оценивается в 3 балла.

№ 10.3 / 11.3Задача 10.3 / 11.3