• 4. Решение. Определим абсолютную звездную величину Регула:

$$m_{\Delta} = m + 5 - 5 \lg d = -0.5$$

Здесь d — расстояние до Регула. С учетом того, что абсолютная звездная величина Солнца равна $+4.7^{\rm m}$ , получаем, что светимость Регула L больше светимости Солнца $L_0$ в $10^{0.4\cdot5.2}=120$ раз. Для светимостей L, радиусов R и температур T справедливо соотношение (индекс «0» относится к Солнцу):

$$\frac{L}{L_0} = \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \left(\frac{T}{T_0}\right)^4.$$

Отсюда мы получаем выражение для температуры поверхности Регула:

$$T = T_0 \left(\frac{L}{L_0}\right)^{1/4} \left(\frac{R_0}{R}\right)^{1/2}.$$

Нам неизвестен радиус Регула R, но известен период его обращения вокруг своей оси t. Определим, при каком радиусе R физическое тело может вращаться с таким периодом и не быть разорванным центробежными силами. Для этого его скорость на экваторе не должна превышать первую космическую:

$$\frac{2\pi R}{t} < \sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

Здесь M — масса звезды. Мы не учитываем здесь вклад тепловой скорости частиц, что будет обосновано далее. Получаем:

$$R < \left(\frac{GMt^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 5R_0.$$

В итоге,

$$T > T_0 \left(\frac{L}{L_0}\right)^{1/4} \left(\frac{4\pi^2 R_0^3}{GMt^2}\right)^{1/6} \sim 1.5T_0 \sim 9000 \text{ K}.$$

Добавим, что при граничном значении температуры (9000 K) мы будем иметь радиус Регула в 5 радиусов Солнца и скорость осевого вращения на экваторе примерно 380 км/с. Это несравнимо больше тепловой скорости атомов водорода, соответствующей данной температуре (10 км/с), что оправдывает допущение, сделанное выше. Реальная температура на экваторе Регула немногим более 10000 K, то есть звезда находится на грани динамической устойчивости.

4. Система оценивания. Для решения задачи участники олимпиады должны получить значение светимости Регула, что оценивается в 2 балла. Выражение температуры Регула в зависимости от его радиуса из закона Стефана-Больцмана оценивается в 2 балла. Определение максимально возможного радиуса Регула исходя из его динамической устойчивости оценивается в 2 балла, еще 2 балла выставляется за вычисление минимальной температуры. Обоснование того, что тепловое движение атомов не влияет на ситуацию, не является обязательным.

Участники олимпиады могут пытаться определить значение радиуса Регула из напрямую из соотношения "радиус-светимость", указывая, что Регул — звезда главной последовательности, после чего найти его температуру. Однако, вследствие неточности соотношения "радиус-светимость" эта температура (около 12000 K) будет даже выше истинной температуры Регула (10000 K) и не может считаться минимально возможной температурой. При условии правильности вычислений подобное решение оценивается в 5 баллов (2 балла за значение светимости Регула, 2 балла за применение закона Стефана-Больцмана и 1 балл за применение соотношения "радиус-светимость").

Возможно решение задания, при котором участник олимпиады будет предполагать, что устойчивость звезды определяется только тепловым движением атомов, забыв про вращение звезды. В этом случае он будет приравнивать тепловую скорость атомов к первой (или даже второй) космической скорости, что приведет его к очень низкой величине минимальной температуры (порядка десятков кельвин). Такое решение может оцениваться не более, чем в 4 балла, при условии правильного вычисления светимости Регула и связи температуры с радиусом и светимостью по закону Стефана-Больцмана.