Чтобы решить задачу наиболее простым способом, обратим внимание, что зависимость звездной величины кометы полностью повторяется через 6 лет. Более того, этот период кратен земному году, то есть периоду обращения Земли вокруг Солнца. По истечении 6 лет Земля оказывается в той же точке орбиты, следовательно, комета также проходит ту же точку своей орбиты. Следовательно, промежуток времени в 6 лет содержит кратное число периодов обращения кометы вокруг Солнца.

Блеск кометы становится максимальным (звездная величина минимальна) в моменты 0, 6 и 12 лет. В это время профиль кривой блеска симметричен относительно максимума. Следовательно, в это же время комета располагается в точке перигелия орбиты и при этом находится либо в противостоянии, либо в соединении с Солнцем.

Между главными максимумами видно еще по 4 максимума блеска и 5 минимумов между ними. Они вызваны тем, что комета периодически оказывается в противостоянии с Солнцем, приближаясь к Земле, и в соединении с ним, удаляясь от Земли. Если бы комета двигалась по орбите навстречу Земле (в противоположном направлении), то за 6 лет наблюдалось бы более 6 соединений и противостояний. Наличие 5 минимумов блеска говорит о пяти соединениях за 6-летний период. Следовательно, синодический период кометы S не превышает 1.2 года (в реальности, он точно равен этой величине, как можно убедиться по графику). Учитывая, что комета находится дальше от Солнца, чем Земля, ее орбитальный период T может быть найден по формуле:

$$\frac{1}{S} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}.$$

Здесь T0 – орбитальный период Земли (один год). Период T составляет ровно 6 лет, и комета движется по орбите в том же направлении, что и Земля. Большая полуось орбиты кометы составляет

$$a = 6^{2/3} = 3.3$$

На графике видно, что в моменты времени 3 года и 9 лет комета находится в соединении с Солнцем на максимальном удалении от Земли (положение 2 на рисунке). Наша планета в это время занимает то же положение, что и в моменты времени 0, 6 и 12 лет. Значит, в эти моменты комета находится в положении 1, в противостоянии с Солнцем (по условию задачи, она не заходит внутрь орбиты Земли). Дальнейшее решение можно производить разными способами. В частности, можно определить по графику звездные величины кометы в эти два момента:

Отношение видимых яркостей кометы в эти моменты:

$$K = 10^{0.4(m_2 - m_1)} = 1000.$$

Пусть r — радиус орбиты Земли, e — эксцентриситет орбиты кометы. Расстояние от Земли до кометы в моменты 1 и 2 равны:

$$d_1 = a (1 - e) - r;$$

$d_2 = a (1 + e) + r;$

С учетом зависимости яркости кометы от расстояний до Солнца и Земли имеем:

$$K = \frac{d_2^2}{d_1^2} \cdot \frac{(1+e)^4}{(1-e)^4}.$$

В итоге, мы получаем кубическое уравнение для эксцентриситета:

$$\sqrt{K} = \frac{a(1+e)+r}{a(1-e)-r} \cdot \frac{(1+e)^2}{(1-e)^2},$$

которое можно решить численным подбором, получив значение эксцентриситета: e=0.4. Однако, существует более простой способ. С точностью до $0.1^{\rm m}$ можно определить, какую звездную величину имела бы комета в афелии (положение 2), находись она при этом в противостоянии (Земля в положении 3). Эта величина составляет

$$m_3 = 13.4$$

Эта величина отличается от $m_2$ только за счет меньшего расстояния от Земли. Тогда мы можем записать

$$K_2 = 10^{0.4(m_2 - m_3)} = 2.5 = \left(\frac{a(1+e) + r}{a(1+e) - r}\right)^2.$$

Отсюда имеем

$$e = \frac{r}{a} \frac{\sqrt{K_2} + 1}{\sqrt{K_2} - 1} - 1 = 0.35,$$

что можно считать хорошим приближенным ответом.

6. Система оценивания. Для решения задачи участники должны установить, что комета обращается по своей орбите с периодом в 6 лет и получить из этого величину большой полуоси ее орбиты. Данный этап решения оценивается в 3 балла (при раздельном выполнении 2 балла ставится за определение периода 1 балл — за определение большой полуоси). Участники могут сделать это развернутым способом, как приведено выше, а могут сразу оценить синодический период кометы (1.2 года) и вычислить из него орбитальный период, что также считается правильным. Если участник сразу и без обоснования пишет, что орбитальный период кометы составляет 6 лет, то 2 балла за первый этап решения не выставляются, но дальнейшее решение оценивается в полной мере (максимальная оценка — 6 баллов).

Вывод о том, что в моменты времени 0, 6 и 12 лет комета находится в перигелии и противостоянии, а в моменты времени 3 и 9 лет — в афелии и соединении (сделанный в явном виде либо следующий из рисунка), оценивается в 2 балла. Вычисление эксцентриситета орбиты кометы оценивается в 3 балла, причем это может делаться точным методом на основе анализа величин $m_1$ и $m_2$ , возможно использование приближенного метода, аналогичного описанному выше. Значения эксцентриситета в интервале от 0.3 до 0.5 могут считаться правильными.