Задача 9.2

2. Условие. Последнее противостояние Сатурна состоялось 15 июня 2017 года. В каком ближайшем календарном году противостояния этой планеты с Солнцем не будет? Орбиты Земли и Сатурна считать круговыми (Е.H. Фадеев).
2. Решение. В случае круговых орбит Земли и Сатурна синодический период Сатурна есть величина постоянная. Ее можно определить, исходя из величины орбитального периода Сатурна (29.458 лет), можно взять из справочных данных. Она равна (29.458/28.458)=1.03514 года или 378.1 день. Каждый следующий год противостояние Сатурна будет наступать на 13.1 день (или на 12.1 день для високосных лет) позже, чем в предыдущем году, то есть в среднем на 12.85 дней позже, чем год назад.

От 15 июня до 31 декабря проходит 199 дней. Разделив это число на 12.85, получаем 15.5 лет. Через 15 лет (в числе которых будет 4 високосных – 2020, 2024, 2028 и 2032) дата противостояния Сатурна сместится на (4*12.1)+(11*13.1)=192.5 дня. Следовательно, в 2032 году противостояние произойдет 24 или 25 декабря (в реальности – 24 декабря в 23ч UT). Следующее противостояние состоится уже в январе 2034 года. Противостояния Сатурна с Солнцем не случится в 2033 году.

Можно рассуждать другим, похожим способом. За четыре года, среди которых 3 обычных и один високосный, дата противостояния сместится на $(1 \cdot 12.1) + (3 \cdot 13.1) = 51.4$ дня. За 3 таких четырехлетки дата противостояния сместится на 154.2 дня (это будет в 2029 году). За два невисокосных года (2030 и 2031) противостояние сместится еще на $2 \cdot 13.1 = 26.2$ дня, а за високосный 2032 год — еще на 12.1 дня и составит 192.5 дня, как мы и получили выше.

Система оценивания. Первым этапом решения задачи является вычисление синодического периода Сатурна либо взятие его правильного значения из справочных данных. Этот этап решения оценивается в 1 балл. Далее участники могут пойти простым способом, выписывая даты последующих противостояний, исходя из значения синодического периода ровно в 378 дней. При условии правильного учета високосных лет эти рассуждения приводят к правильному ответу с общей итоговой оценкой 8 баллов. Если фактор високосных лет не учитывается, то, несмотря на правильный ответ, оценка снижается на 1 балл (итоговая – не более 7 баллов).

При решении задачи способом, описанным выше, 2 балла выставляется за расчет числа дней от 15 июня до 31 декабря (или 1 января), еще 5 баллов — за вычисление числа полных лет до момента, когда дата противостояния перейдет с декабря на январь. Если фактор високосных лет не учитывается, общая оценка снижается на 1 балл.

В этом же случае, 5 баллов за основной этап решения (вычисление числа полных лет) разделяются следующим образом: число дней, на которое смещается дата противостояния в невисокосном году -2 балла, в високосном году -1 балл, переход к числу лет до перехода противостояния в новый год -2 балла.

№ 9.2Задача 9.2