• 3. Решение. Запишем выражения для скорости тела в перицентре и апоцентре орбиты:

$$v_P = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1+e}{1-e}}; \quad v_A = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1-e}{1+e}}.$$

Здесь M — масса планеты, a — большая полуось орбиты, e — ее эксцентриситет. Разделив одно выражение на другое, имеем:

$$\frac{v_P}{v_A} \equiv K = 1.108 = \frac{1+e}{1-e}.$$

Отсюла

$$e = \frac{K-1}{K+1} = \frac{v_P - v_A}{v_P + v_A} = 0.051.$$

Для высот спутника в перицентре и апоцентре можно записать:

$$h_{\rm P} = a (1 - e) - R$$ ; $h_{\rm A} = a (1 + e) - R$ .

3десь R – радиус планеты. Вычитая из второго уравнения первое, имеем:

$$h_A - h_P = 2ae;$$ $a = \frac{h_A - h_P}{2e} = 14700 \text{ KM}.$

Теперь мы можем найти радиус планеты:

$$R = a (1 - e) - h_P = 13150 \text{ km}$$

или 2.06 радиуса Земли. Масса планеты равна:

$$M = \frac{v_P^2 a}{G} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} = 3.0 \cdot 10^{25} \text{ Kg}$$

или 5 масс Земли. Наконец, плотность планеты составляет

$$\rho = \frac{3M}{4\pi R^3} = 3200 \text{ kg/m}^3$$

или 0.57 от плотности Земли.

3. Система оценивания. Решение задачи можно производить разными способами. При решении способом, описанным выше, последовательно находятся эксцентриситет орбиты (2 балла), большая полуось орбиты (1 балл), радиус планеты (2 балла), масса планеты (2 балла) и, наконец, плотность планеты (1 балл). При решении другим способом необходимо также разбить его на соответствующие этапы, оценивая каждый из них, исходя из его сложности.

При допущении ошибки на одном из этапов решения баллы за этот этап не выставляются, а последующие оцениваются только в том случае, если сделанная ошибка не приводит к заведомо абсурдным характеристикам планеты.

$\rho = \frac{3M}{4\pi R^3} = 3200 \\text{ kg/m}^3$