Анаксимандр из Милета при этом считал, что звезды — это дыры в небе, через которые виден "небесный огонь". Угловой диаметр звезды Канопус равен 0".0069. Мог бы человек тогда пролезть в "дыру", соответствующую Канопусу?

Предположим далее, что звезды – это постоянные источники света, а звездные сутки на Земле увеличиваются на 2 мс за 100 лет. Какова скорость расширения хрустальной сферы, если ее линейная скорость вращения на экваторе постоянна и равна скорости света? На сколько звездных величин потускнели бы звезды со времен Анаксимандра (за 2600 лет)? (Е.Н. Фадеев)

5. Решение. На данный момент Земля поворачивается вокруг своей оси за $T_0 = 23$ ч56м, т.е. ее угловая скорость равна $2\pi/(86160 \text{ c}) = 7.3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с}$ . В нашей модели Земля неподвижна, а крутится сама небесная сфера с такой же угловой скоростью. Отсюда получаем расстояние, на котором линейная скорость такого вращения достигает скорости света:

$$R_0 = \frac{c \cdot T_0}{2\pi} = 4.1 \cdot 10^{12} \,\text{M} = 27.5 \text{ a.e.}$$

Выходит, что радиус небесной сферы должен быть немного меньше среднего расстояния до Нептуна. На таком расстоянии угловому размеру 0".0069 соответствует линейный размер $R_0$ ·(0.0069/206265)=140 км. Это расстояние более чем достаточно для прохода человека. Далее, продолжительность звездных суток меняется на Земле линейно по формуле

$$T(t) = T_0 + \dot{T}t.$$

Здесь $T_0$ – продолжительность суток в некий начальный момент времени, $\dot{T}$ - скорость ее изменения. Тогда радиус хрустальной сферы меняется по закону

$$R = \frac{c}{2\pi}T(t) = \frac{c}{2\pi}(T_0 + \dot{T}t) = R_0 + \frac{c\dot{T}}{2\pi}t,$$

то есть увеличивается линейно со скоростью

$$V = \frac{c\dot{T}}{2\pi} = 0.95$$ км/год.

Здесь $R_0$ – начальный радиус сферы. Наконец, за 2600 лет звезды удалились на расстояние $\Delta R$ =2470 км = $1.65 \cdot 10^{-5}$ а.е. Воспользовавшись формулой Погсона, получаем изменение звездной величины:

$$\Delta m = -2.5 \lg \left(\frac{R_0 - \Delta R}{R_0}\right)^2 = -5 \lg \left(1 - \frac{\Delta R}{R_0}\right) \approx 2.16 \frac{\Delta R}{R_0} = 0.0000013^m.$$

• 5. Система оценивания. Каждый из четырех вопросов задачи оценивается в 2 балла. Один балл выставляется за правильный вывод формулы, второй за вычисления и конечный ответ. В последнем вопросе одинаково верно оценивается и утверждение о том, что блеск заметно или почти совсем не изменится, и вычисление малого изменения блеска. Если в качестве периода вращения сферы звезд берутся солнечные сутки (24 часа), то оценка за первый этап снижается на 1 балл, оставшиеся этапы оцениваются в полной мере (максимальная оценка 7 баллов).

$R_0 = \frac{c \cdot T_0}{2\pi} = 4.1 \cdot 10^{12} \\text{M} = 27.5 \\text{ a.e.}$