№ 11.2Задача 11.2
2. Условие. На полюсе спутника Юпитера Европа, на высокой башне, установили телескоп для изучения другого спутника – Ганимеда – и постройки его карты. Какую часть поверхности Ганимеда удастся изучить с этим телескопом? Считать орбиты спутников круговыми и лежащими в плоскости экватора Юпитера и самих спутников, размеры спутников – существенно меньшими радиусов их орбит. Считать также, что весь диск Ганимеда постоянно находится над горизонтом с точки положения телескопа на башне. (O.C. Угольников)
2. Решение. Как известно, за счет приливного влияния планет их крупные спутники всегда обращены к планете одной стороной. Не является исключением Луна, а также все галилеевы спутники Юпитера. Если орбита спутника круговая, а его экватор лежит в плоскости этой орбиты, то у спутника практически не будет либраций, таких, как у Луны. Малость размеров спутников по сравнению с радиусами орбит дает основание не учитывать и параллактические эффекты при наблюдении одного спутника с другого. В этом случае мы считаем спутники жестко повернутыми одной стороной к планете. Будем считать меридиан спутника, обращенный к планете, нулевым (так и делается при картографировании спутников). Тогда с самой планеты, если не учитывать либрации, видны области спутника с долготами от –90° до +90°, то есть половина поверхности. Рассмотрим условия наблюдения одного спутника с другого:
Решение
Ганимед располагается дальше от Юпитера, чем Европа, и повернут к ней, по большей части, тем же полушарием, что и к Юпитеру. Однако, при благоприятном расположении, с Европы будет видна часть обратного полушария Ганимеда. Эффект будет максимальным, когда Ганимед при наблюдении с Европы окажется в квадратуре, а Европа при наблюдении с Ганимеда окажется в наибольшей элонгации от Юпитера, равной
$$\gamma = \arcsin \frac{r_1}{r_2} = 39^O.$$
В этом случае с Европы можно будет наблюдать области поверхности Ганимеда с долготой до $90^{\circ}+39^{\circ}=129^{\circ}$ . В противоположной квадратуре доступны будут области с долготой до $-129^{\circ}$ . Обратим внимание, что Ганимед не будет покрываться Юпитером в эти моменты. В течение юпитерианского года каждый участок видимой поверхности Ганимеда будет хоть когда-нибудь освещен Солнцем и может быть изучен. Учитывая, что спутники малы, их оси параллельны, а плоскость их орбит совпадает с плоскостями экваторов, доля наблюдаемой поверхности Ганимеда будет равна $100\% \cdot ((129+129)/360) = 72\%$ .
2. Система оценивания. Для решения задачи участники олимпиады должны указать, что спутники повернуты к Юпитеру одной стороной. Данный вывод оценивается в 2 балла. После этого они должны рассмотреть конфигурацию с максимальной наблюдаемой долготой поверхности Ганимеда, что оценивается еще в 2 балла. Вычисление этой долготы и доли наблюдаемой поверхности Ганимеда оценивается еще по 2 балла за каждое.
Если участник забывает учесть, что удастся наблюдать области обратного полушария Ганимеда по 39° с обоих сторон, а будет учитывать только одну с ответом 61%, то каждый из двух последних этапов оценивается по 1 баллу (итоговая оценка — не более 6 баллов). Если вместо квадратуры Ганимеда берется конфигурация, при которой он отстоит на 90° по долготе от Европы (с ответом 68%), то в задаче не засчитывается второй этап, и максимальная оценка также составляет 6 баллов.
Ответ
72%