• 2. Решение. Проще всего решить эту задачу, вспомнив, что геостационарный спутник обращается вокруг Земли с тем же периодом, что и сама Земля вокруг своей оси, и видимое положение спутника при наблюдении с поверхности Земли не изменяется. Поэтому достаточно определить, за какое время диск Луны в своем видимом движении по небу Земли пройдет угловое расстояние, равное своему диаметру. Если бы Луна не перемещалась на небе относительно звезд, то ее угловая скорость относительно спутника и земных объектов была бы равна угловой скорости вращения Земли (и геостационарного спутника):

$$\omega_0 = \frac{360^{\circ}}{T} \approx 15^{\circ}/$$ чч

Здесь T — период осевого вращения Земли (23ч56м). Приближенное значение длительности прохождения спутника составит

$$t_0 = \frac{\delta}{\omega_0} = \frac{T \, \delta}{360^{\circ}} = 2.07 \,$$ мин.

Здесь $\delta$ — угловой диаметр Луны (0.518°). Сейчас получена лишь приближенная величина. В реальности, Луна обращается вокруг Земли по орбите с угловой скоростью

$$\Omega = \frac{360^{\circ}}{S} \approx 0.55^{\circ}/4$$

Здесь S — сидерический период Луны. Мы пренебрегаем углом наклона орбиты Луны к экватору и считаем скорости сонаправленными. С учетом этого, мы можем получить более точное выражение для продолжительности прохода спутника перед диском Луны:

$$t = \frac{\delta}{\omega_0 - \Omega} = 2.14 \text{ мин.}$$

Это уже достаточно точная оценка. Можно также учесть, что если дело происходит на экваторе, и Луна располагается в зените, то за счет осевого вращения Земли ее видимая угловая скорость уменьшается до величины

$$\Omega_Z = \frac{v - V}{L - R} = \frac{L \cdot \Omega - R \cdot \omega_0}{L - R} \approx 0.31^{\circ} / v$$

Здесь v — орбитальная скорость Луны, V — скорость точки экватора Земли, L — расстояние до Луны, R — радиус Земли. За счет уменьшения угловой скорости Луны перемещение спутника по ее диску будет происходить быстрее. Но угловой диаметр Луны $\delta_Z$ в этом случае увеличивается до

$$\delta_Z = \frac{\delta \cdot L}{L - R} = 0.527^{\circ}.$$

Продолжительность явления в зените составляет

$$t_Z = \frac{\delta_Z}{\omega_0 - \Omega_Z} = \frac{\delta \cdot L}{L - R} \cdot \frac{L - R}{(\omega_0 - \Omega) \cdot L} = \frac{\delta}{\omega_0 - \Omega} = t.$$

Можно показать, что эта величина вообще не зависит от высоты Луны над горизонтом во время явления.

2. Система оценивания. Решение задачи можно вести с точки зрения наблюдателя на поверхности Земли, для которого геостационарный спутник будет соответствовать неподвижной точке неба, через которую проходит диск Луны. Можно решать задачу более классическим способом, вычисляя угловые скорости Луны и спутника относительно звезд. В обоих случаях, выполнение задачи в пренебрежении угловым перемещением Луны оценивается в 5 баллов, возможен округленный вариант ответа: 2 минуты. Учет угловой скорости Луны как постоянной величины ( $\Omega$ в решении выше) и получение ответа с точностью до 0.1 минуты достаточен для выставления максимальной оценки в 8 баллов.

Участник олимпиады может также учесть приближение к Луне точки экватора и изменение ее угловой скорости, что при условии правильного выполнения не меняет окончательный ответ и оценку. Если же учтен только один фактор (только приближение наблюдателя к Луне или только изменение ее угловой скорости), то ответ меняется примерно на 0.1 минуты, а оценка снижается на 2 балла.