№ 10.2Задача 10.2
- 2. Условие. Синодический период астероида, движущегося по круговой орбите в плоскости эклиптики, равен тропическому году (365.2422 сут). Чему равен радиус его орбиты? (Е.Н. Фадеев)
- 2. Решение. Тропический год это промежуток времени, за который Солнце, двигаясь по эклиптике, возвращается в исходную точку, за которую обычно принимается точка весеннего равноденствия. Но сама точка равноденствия смещается по эклиптике навстречу Солнцу на 50.3″ (годовая прецессия на эклиптике). Поэтому тропический год короче периода обращения Земли вокруг Солнца.
Решение
Солнце проходит $359.9860^{\circ}$ (полный круг за вычетом годовой прецессии) за S=365.2422 сут. Значит, полный оборот вокруг Солнца Земля совершает за период
$$T = \frac{360}{359.9860} \cdot 365.2422 \text{ сут} = 365.2564 \text{ сут} = 1.0000389 \text{ лет}.$$
Заметим, что синодический период астероида меньше звездного года. Для внешнего астероида такое возможно только в том случае, если он обращается вокруг Солнца в сторону, противоположную направлению орбитального вращения Земли. Воспользовавшись уравнением синодического движения, можно найти период астероида. В случае астероида на внешней орбите получаем
$$\frac{1}{T_1} = \frac{1}{S} - \frac{1}{T};$$ $T_1 = \frac{T \cdot S}{T - S} \approx 25770$ лет.
Период обращения астероида оказывается равным периоду прецессии земной оси. Этот же результат можно получить, рассчитав отношение $(360^{\circ}/\alpha)$ , где $\alpha$ – годовая величина прецессии.
Возможен и другой случай, если астероид внутренний с периодом обращения $T_2$ . Тогда
$$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{S} + \frac{1}{T};$$ $T_2 = \frac{T \cdot S}{T + S} \approx 0.5$ года.
Радиус орбиты в астрономических единицах для обоих случаев можно получить из простой формулировки III закона Кеплера:
$$R_{1,2} = T_{1,2}^{2/3}$$
Радиусы орбит равны 872 а.е. и 0.63 а.е. соответственно.
2. Система оценивания.
Этап 1 — определение периода обращения внешнего астероида — 4 балла. Этот этап можно выполнять в общем виде, как описано выше, а можно использовать знания величин звездного года и периода прецессии. В частности, можно сразу указать, что искомый период есть период прецессии. Требуемая точность — 500 лет.
Этап 2 – определение периода обращения внутреннего астероида – 2 балла. Участники могут сразу указать, что он равен 0.5 года, могут искать более точное значение (0.50001 года), что эквивалентно в плане оценивания.
Этап 3 — определение радиусов обеих орбит по III закону Кеплера. Оценивается в 2 балла (по 1 баллу за каждое значение). Требуемая точность — 30 а.е. и 0.01 а.е. соответственно.
Ответ
Радиусы орбит равны 872 а.е. и 0.63 а.е. соответственно.