Задача 9.3

3. Условие. В романе Жюля Верна «Таинственный остров» герои оказываются на неизвестном острове и называют его островом Линкольна. В ходе действий книги они узнают, что координаты острова Линкольна – 34°57′ ю. ш., 150°30′ з. д. Позже они нашли карты и узнали, что такого острова на них нет, но поблизости есть риф Марии-Терезы (он же остров Табор, координаты 37°11′ ю. ш., 151°15′ з. д.). Герои произведения путешествовали к нему и обратно на самодельном небольшом корабле. Какое расстояние они прошли (туда и обратно вместе), если считать, что двигались они по самому короткому пути? (А.А. Автаева)
3. Решение. Острова находятся недалеко друг от друга, поэтому можно рассматривать картину как евклидову на плоскости, но помня при этом, что длина дуги в 1° вдоль меридиана и параллели отличается, так как дело происходит вдали от экватора. Определим разницу широт и долгот островов Линкольна и Табор:

$$\Delta \varphi = 2^{\circ}14' = 2.23^{\circ};$$

$\Delta \lambda = 45' = 0.75^{\circ}.$

Длина дуги большого круга на поверхности Земли, проходящего через эти два острова, составит:

$$\gamma = \sqrt{\Delta \varphi^2 + (\Delta \lambda \cos \varphi)^2} = 2.31^{\circ}.$$

В качестве широты ϕ правильней всего взять среднее значение из широт двух островов (–36°). Мы видим, что полное смещение мало отличается от смещения вдоль меридиана. Учитывая, что длина дуги меридиана в 1° составляет L=2πR/360° = 111.2 км (здесь R – радиус Земли), получаем, что полное расстояние, которое преодолели путешественники туда и обратно, есть 2Lγ = 515 км.

3. Система оценивания.

1 этап (2 балла). Определение разности долгот и широт двух островов. Может выполняться в численном или общем виде. Разность долгот может быть сразу умножена участником на фактор cosϕ (получается 0.6° или 36′). Выставляется по 1 баллу за каждый правильный ответ. При ошибке соответствующий балл не ставится, но последующие этапы оцениваются в полной мере.

2 этап (4 балла). Вычисление расстояния между островами в километрах или градусах дуги большого круга. Если участник опускает фактор cosϕ и получает чуть завышенную итоговую длину (524 км) – оценка уменьшается на 1 балл. Также 3 баллами оценивается приближенное решение, в котором считается, что путешественники двигались вдоль меридиана (итоговая длина 497 км). В обоих случаях последующий этап оценивается в полной мере.
3 этап (2 балла). Формулировка окончательного ответа. Максимальная погрешность без учета допущений и неточностей на предыдущих этапах – 5 км. При ошибке в 2 раза, вызванной невнимательным чтением условия и определения длины пути в одну сторону, оценка уменьшается на 1 балл.

№ 9.3Задача 9.3

3. Система оценивания.