Так как Бетельгейзе располагается несравнимо дальше Леоны, скорость области покрытия относительно Земли есть просто скорость Леоны относительно Земли. Сравнив перемещение тени Леоны за какое-то время с диаметром Земли, мы определяем эту скорость: u = 10.8 км/c. Обратим внимание, что эта скорость значительно больше скорости поверхности Земли за счет ее осевого вращения, поэтому последнюю мы можем не принимать в расчет. Также мы пренебрежем наклоном скорости Леоны к эклиптике, что также можно делать, судя по карте.

Обратим внимание, что скорость u направлена с востока на запад, то есть противоположно орбитальному движению Земли. Это связано с тем, что Леона располагается дальше от Солнца, и ее гелиоцентрическая скорость v меньше, чем у Земли ( $v_0$ ). Мы можем найти эту скорость:

$$v = v_0 - u = 19.0 \text{ km/c}.$$

По условию задачи, мы считаем орбиту Леоны круговой, Тогда для скоростей Леоны и Земли справедливо соотношение: $(v/v_0)^2 = (a_0/a)$ , где a и $a_0$ – радиусы орбит Леоны и Земли. Отсюда мы находим расстояние от Солнца до Леоны: a=2.5 а.е, Учитывая, что явление на небе происходит недалеко от эклиптики, мы можем считать расстояние от Земли до Леоны равным $a-a_0=1.5$ а.е. Отметим, что реальное расстояние Леоны от Солнца в момент покрытия будет немного больше – 2.8 а.е., причина нашей неточности в том, что реальная орбита Леоны вытянута, и скорость движения в этот день будет больше круговой для данного расстояния от Солнца.

Чтобы определить видимую звездную величину Леоны, найдем ее диаметр. Он равен ширине полосы покрытия, которую мы можем приближенно оценить по карте как 100 км. Если радиус Леоны r равен 50 км, а сферическое альбедо A равно 0.05, то мы можем определить звездную величину Леоны, сравнив ее в небе Земли с Солнцем:

$$m = m_0 - 2.5 \lg \frac{\frac{J_0}{4\pi a^2} \cdot A\pi r^2 \cdot \frac{1}{4\pi (a - a_0)^2}}{\frac{J_0}{4\pi a_0^2}} = m_0 - 2.5 \lg \frac{a_0^2 \cdot Ar^2}{4a^2 (a - a_0)^2} \approx +13.$$

Здесь $J_0$ — светимость Солнца. Здесь мы фактически предположили, что Леона отражает солнечный свет в равной степени во всех направлениях, что конечно не вполне соответствует действительности. Подобная оценка была бы более оправдана для фазы около 0.5, что неосуществимо для внешних астероидов. Мы можем уточнить оценку и считать, что Леона отражает свет только в одну полусферу (тогда мы получим звездную величину чуть слабее $12^{\rm m}$ ) или даже в четверть сферы, что является хорошим приближением для противостояния (результат около $11.5^{\rm m}$ ). Такой же ответ мы получим, если сравним Леону с Луной (радиус R, альбедо $A_L$ , звездная величина $m_L$ ), расположенной на расстоянии $a_0$ от Солнца и l от Земли:

$$m = m_L - 2.5 \lg \frac{A}{A_L} \frac{a_0^2 \cdot r^2 \cdot l^2}{a^2 R^2 (a - a_0)^2} \approx +11.$$

Здесь мы считаем, что Леона, как и Луна, особенно хорошо отражает свет в обратном направлении, что справедливо для твердых тел без атмосферы с пористой поверхностью, это и является причиной большей итоговой яркости. Однако, в реальности блеск Леоны составит примерно 13-14т. Дело в том, что в реальности астероид будет дальше от Солнца и Земли (его орбита эллиптическая), а его размер несколько меньше: при расчете ширины видимости явления был также учтен видимый диаметр Бетельгейзе.

6. Система оценивания. Задание имеет практический характер, все параметры, определяемые из карты, могут иметь существенные погрешности. В отличие от других заданий, данная задача оценивается по 10-балльной системе.

Этап 1 (3 балла): определение геоцентрической скорости Леоны. Допустимая погрешность – 0.5 км/с. Участники могут учитывать осевое вращение Земли, направленное в противоположную сторону, что уменьшит итоговое значение скорости на 0.4 км/с.

Этап 2 (4 балла): определение расстояния до Леоны. С учетом погрешности в определении скорости, расстояние может отличаться от найденного выше на 0.2 а.е.

Вариант излишне усложненного выполнения этапа: учет того, что Бетельгейзе и Леона в момент покрытия не будут точно в противостоянии с Солнцем. Бетельгейзе вступает в противостояние за день до зимнего солнцестояния, то есть 20 декабря. Покрытие происходит на 8 дней раньше, и Бетельгейзе с Леоной отстоят от противосолнечной точки по долготе на λ=8°. Учет этого эффекта достаточно сложен и при этом не требуется для решения данной задачи по оценке звездной величины Леоны, так как в реальности он увеличивает значение радиуса орбиты Леоны всего на 0.04 а.е., эффект значительно меньше допустимой погрешности. Подобное решение засчитывается при условии правильного выполнения – ответ не должен выходить за рамки допустимой погрешности.

Вариант излишне усложненного выполнения этапа: попытка учесть наклон скорости движения Леоны к плоскости эклиптики γ. По рисунку мы можем определить угол между геоцентрической скоростью Леоны и экватором Земли (8°). Если считать, что прямое восхождение Бетельгейзе близко к 6ч, то угол между геоцентрической скоростью Леоны и эклиптикой будет таким же – 8°, в реальности он мало отличается от этого значения: 7.5°. Гелиоцентрическая скорость Леоны в этом случае определяется из треугольника скоростей:

$$v^2 = (v_0 - u\cos\gamma)^2 + (u\sin\gamma)^2 = v_0^2 + u^2 - 2v_0u\cos\gamma;$$ $v = 19.2 \text{ km/c}.$

Тот же результат можно получить из теоремы косинусов. Радиус орбиты Леоны a при этом получается равным 2.4 а.е. Таким образом, учет наклона орбиты не выводит ответ за рамки указанных выше погрешностей и, вообще говоря, для решения данной задачи также не нужен.

Аналогичная ситуация имеет место, если далее при вычислении расстояния от Земли до Леоны участник принимает во внимание удаление Бетельгейзе на небе от эклиптики на β=16°. Записывая аналогичное соотношение, мы получаем расстояние от Земли до Леоны:

$$d^2 = a_0^2 + a^2 - 2a_0a\cos\beta$$ ; $d = 1.5$ a.e.

Изменение расстояния составляет менее 0.1 а.е., более того – при учете трех описанных выше уточнений они частично компенсируют друг друга, и расстояние от Земли до Леоны вновь оказывается около 1.5 а.е. Решение с одним или несколькими уточнениями оценивается полностью, если выполняется верно, и ответы оказываются в рамках допустимых погрешностей.

Вероятная ошибка при выполнении этапа: участник путает геоцентрическую и гелиоцентрическую скорость Леоны, полагая последнюю равной около 11 км/с и расстояние Леоны от Солнца 7±1 а.е. В этом случае за этап выставляется максимум 1 балл, если есть иные математические ошибки – 0 баллов. Последующий этап оценивается исходя из правильности его выполнения с учетом полученного расстояния до Леоны.

Вероятная ошибка при выполнении этапа: неверное направление геоцентрической скорости Леоны, в результате гелиоцентрическая скорость получается ее сложением, а не вычитанием из гелиоцентрической скорости Солнца. Итог составляет 40.6 км/с, что невозможно для тела на круговой орбите, превосходящей по радиусу орбиту Земли. За данный этап выставляется 1 балл, при этом не оценивается следующий этап, так как его выполнение становится абсурдным.

Этап 3 (3 балла). Вычисление видимой звездной величины Леоны. Участник может сравнивать Леону с Солнцем, Луной или любой внешней планетой Солнечной системы в противостоянии, каждый подход трактуется как верный. Это может вносить существенную разницу в итоговый ответ, так как фактически при этом предполагается разный характер неравномерности распределения отраженного света. Правильный ответ зависит от методики решения (сравнения с Луной, с Солнцем или иными источниками, предположение о характере отражения света), то есть один и тот же численный ответ участника может трактоваться как правильный или нет в зависимости от подхода, а также от величин, полученных на предыдущих этапах. Отклонение ответа участника относительно приведенных выше значений за счет погрешностей на первых этапах решения может достигать 2m.