Коль скоро Земля оказалась в наибольшей западной элонгации при наблюдении с Сатурна, угол «Солнце – Земля – Сатурн» составляет 90°, то есть Сатурн при наблюдении с Земли находится в квадратуре, причем в восточной. Венера при наблюдении с Земли также располагается к востоку от Солнца. Угол «Солнце – Венера – Земля» также равен 90°. Венера отстает от Земли в своем орбитальном движении на угол

$$\beta_1 = \arccos(r_1/r_0) = 43.7^{\circ}$$

Здесь r0 и r1 – радиусы орбит Земли и Венеры. Постепенно Венера, как внутренняя планета, будет догонять Землю, и этот угол будет уменьшаться. Если перейти в систему отсчета, связанную с направлением «Солнце-Земля», то Венера будет совершать в ней полный круг с синодическим периодом S1 = 583.9 сут. Таким образом, время до ближайшего нижнего соединения Венеры с Солнцем равно

$$T_1 = S_1 \beta_1 / 360^\circ = 71 \text{ cyr.}$$

В случае Сатурна ситуация несколько иная – Земля уже опережает его в своем движении по орбите и продолжает удаляться. Соединение Сатурна и Солнца в небе Земли наступит, когда Земля и Сатурн окажутся с разных сторон от Солнца. Для этого разность их долгот должна возрасти на угол

$$\beta_2 = 180^{\circ} - \arccos(r_0/r_2) = 96.0^{\circ}.$$

Здесь r2 – радиус орбиты Сатурна. Обозначив синодический период Сатурна (378.1 суток) через S2, найдем время, оставшееся до его соединения с Солнцем:

$$T_2 = S_2 \beta_2 / 360^\circ = 101 \text{ cyr.}$$

В итоге, нижнее соединение Венеры произойдет на 30 дней раньше соединения Сатурна. В реальности, нижнее соединение Венеры действительно наступает 9 января 2022 года, через 71 дней после ситуации, описанной в условии задачи, а соединение Сатурна – 4 февраля, через 97 дней. Различие связано с эллиптичностью орбит планет.

2. Система опенивания.

1 этап (2 балла): Правильное текстовое или графическое описание взаимной конфигурации Земли и Венеры (1 балл) и Земли и Сатурна (1 балл).

2 этап (4 балла): Определение величин, на которые должны измениться разности долгот Венеры и Земли (2 балла) и Земли и Сатурна (2 балла), чтобы наступили соединения, в численном или аналитическом виде. Требуемая точность $-1^{\circ}$ .

Вероятная ошибка участника: неверная интерпретация понятия соединения, что может изменить искомые величины на 180°: поиск момента верхнего соединения Венеры либо противостояния Сатурна. В этом случае не засчитывается часть этапа, соответствующая данной планете, и следующий этап.

Вероятная ошибка участника: вместо угла $\beta_2$ находится его дополнение до $180^{\circ}$ ( $84^{\circ}$ ), что приближает соединение Сатурна на 13 дней. В этом случае не засчитывается часть данного этапа, связанная с Сатурном, последующий этап засчитывается наполовину.

3 этап (2 балла): определение разницы времен до ближайших соединений Венеры и Сатурна с Солнцем. Этап проще всего выполнить, используя величины синодических периодов обеих планет, приведенные в справочных данных, можно также производить вычисления через орбитальные периоды. Требуемая точность — 1 сутки, при правильной очередности (соединение Венеры происходит раньше).