№ 10.3 / 11.3Задача 10.3 / 11.3
- 3. Условие. Двойная система состоит из одинаковых звезд, идентичных Солнцу и обращающихся по круговым орбитам на расстоянии 1 а.е. друг от друга. В результате близкого пролета еще одной такой же звезды система распалась, все три звезды навсегда покинули окрестности друг друга. Определите минимальную скорость третьей звезды относительно центра двойной системы до сближения. (О.С. Угольников)
- 3. Решение. Обозначим массы каждой звезды как M, расстояние между ними a. Каждая из них движется по окружности радиусом a/2 со скоростью $v_0$ , для которой справедливо соотношение:
$$\frac{GM^2}{a^2} = \frac{2Mv_0^2}{a}; \quad v_0 = \sqrt{\frac{GM}{2a}}.$$
Решение
Полная энергия двойной системы равна
$$E_0 = 2 \cdot \frac{Mv_0^2}{2} - \frac{GM^2}{a} = -\frac{GM^2}{2a}.$$
Третья звезда до сближения не взаимодействует с двойной системой и имеет скорость v. Тем самым, энергия системы из трех звезд в системе отсчета, связанной с положением центра масс двойной системы до сближения с третьей звездой, есть
$$E = \frac{Mv^2}{2} - \frac{GM^2}{2a}.$$
Нас интересует минимальное значение скорости v, при котором система распадется, то есть у звезд не останется потенциальной энергии взаимодействия друг с другом. Однако, в данной системе отсчета полная кинетическая энергия движения трех звезд не может обратиться в ноль, так как ее центр масс системы из всех трех звезд движется со скоростью v/3, и эта скорость не может измениться в результате взаимодействия. Наименьшая кинетическая энергия системы после взаимодействия будет в том случае, если все звезды на большом расстоянии друг от друга будут иметь скорость v/3. Тогда мы можем записать закон сохранения полной энергии:
$$\frac{Mv^2}{2} - \frac{GM^2}{2a} = 3 \cdot \frac{M(v/3)^2}{2} = \frac{Mv^2}{6}.$$
Отсюда мы получаем выражение для минимальной скорости третьей звезды до взаимодействия:
$$v = \sqrt{\frac{3GM}{2a}} = \sqrt{3}v_0 = 36.5 \text{ km/c}.$$
Вероятные потери энергии при взаимодействии звезд могут привести только к увеличению требуемой для распада системы скорости звезды, поэтому полученное значение действительно является минимальным.
- 3. Система оценивания. При проверке необходимо учитывать, что решение может вестись как в системе отсчета, связанной с центром масс двойной системы до взаимодействия, как сделано выше, так и в системе отсчета, связанной с общим центром масс всех звезд, оба подхода в равной степени обоснованы.
- 1 этап (2 балла). Выражение для полной энергии системы до взаимодействия. Предложенный выше ход решения наиболее полный, участники олимпиады вправе сразу написать, что полная энергия системы из двух звезд есть $-GM^2/2a$ , как общеизвестный факт.
- 2 этап (4 балла). Выражение для минимальной полной энергии системы после взаимодействия.
Вероятная ошибка участника: решение ведется в системе отсчета, связанной с изначальным центром двойной системы, а минимальная полная энергия после взаимодействия считается равным нулю, что противоречит закону сохранения импульса. Это приводит к ответу без коэффициента 3/2 под знаком корня и численному значению 29.8 км/с. В этом случае второй этап решения не засчитывается полностью (0 баллов), третий этап оценивается, исходя из правильности его выполнения (максимум за решение – 4 балла).
3 этап (2 балла). Вычисление минимальной скорости звезды, погрешность не выше 1 км/с.
Ответ
$v = \sqrt{\frac{3GM}{2a}} = \sqrt{3}v_0 = 36.5 \text{ km/c}$.