№ 10.4Задача 10.4
4. Условие. Астрономическая обсерватория будущего построена на одной из карликовых планет Солнечной системы, обращающейся по круговой орбите. Измерения положения звезды, удаленной от Солнца на 10 пк, показали, что ее параллактическое и аберрационное смещения в течение одного оборота планеты вокруг Солнца имеют одинаковые амплитуды. Найдите орбитальный период планеты, на которой построена обсерватория. (О.С. Угольников)
4. Решение. Амплитуда параллактического смещения звезды при наблюдении с планеты составляет
$$p'' = 206265'' \ r/L = r \text{ (a.e.)} / L \text{ (пк)},$$
Решение
где r — радиус орбиты планеты, L — расстояние до звезды. Амплитуда аберрационного смещения есть
$$a'' = 206265'' \ v/c = 206265'' \ (r/r_0)^{-1/2} \ v_0/c = 20.5''/ \ (r \ (a.e.))^{1/2}.$$
Здесь $r_0$ — радиус орбиты Земли, $v_0$ — орбитальная скорость Земли (29.8 км/с). По условию задачи, амплитуды одинаковы, а расстояние до звезды составляет 10 пк. Опуская обозначения единиц измерения, получаем выражение для радиуса орбиты:
$$r / 10 = 20.5 / r^{1/2}$$ ; $r = 205^{2/3} = 34.8$ a.e.
Очевидно, обсерватория располагается на транснептуновом теле. Период его обращения легко определить, так как при выражении в годах он равен $T = r^{3/2} = 205$ – величине, которая была определена по ходу выкладок в предыдущей формуле.
4. Система оценивания.
- 1 этап (2 балла). Правильная связь амплитуды параллактического смещения и радиуса орбиты обсерватории. Если участник делает ошибку, приводящую к появлению численного коэффициента, но не меняющую характер зависимости $p \sim r$ этап не засчитывается, но все остальные, при условии их правильного выполнения, оцениваются в полной мере. Если ошибка приводит к изменению самого характера зависимости этап не засчитывается, этап 2 оценивается исходя из правильности его выполнения, этапы 3 и 4 засчитываются не более чем наполовину.
- 2 этап (2 балла). Правильная связь амплитуды аберрационного смещения и радиуса орбиты обсерватории. Участник может не представлять выкладок, а сразу написать аберрационное смещение на орбите Земли как известное (20'' или 20.5'') Если участник делает ошибку, приводящую к появлению численного коэффициента, но не меняющую характер зависимости $a \sim r^{-1/2}$ этап не засчитывается, но все остальные, при условии их правильного выполнения, оцениваются в полной мере. Если ошибка приводит к изменению самого характера зависимости этап не засчитывается, этап 1 оценивается исходя из правильности его выполнения, этапы 3 и 4 засчитываются не более чем наполовину.
- 3 этап (2 балла). Формулировка выражения либо численное определение радиуса орбиты тела, на котором установлена обсерватория. При численном исполнении допустимая погрешность составляет 0.5 a.e.
- 4 этап (2 балла). Вычисление орбитального периода карликовой планеты. Допустимая погрешность -5 лет (в частности, значение ровно в 200 лет получится, если использовать величину аберрации на орбите Земли ровно в 20", и это допустимо).
Ответ
$T = r^{3/2} = 205$