ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

Астрономия11 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_edit_p_5704b29b69da612e_4 ID p_5704b29b69da612e
Предложить исправление

Белый карлик массы m обращается по круговой орбите радиуса R вокруг сверхмассивной черной дыры массы M. Космический аппарат в результате неудачных действий экипажа также оказался на круговой орбите вокруг этой черной дыры. Он движется в той же плоскости и почти по той же траектории, что и белый карлик, но в противоположном направлении, и не имеет запасов топлива. При какой максимальной разнице радиусов орбит аппарата и белого карлика Δ R \Delta R после их первой встречи аппарат улетит от сверхмассивной черной дыры?

При решении считать, что m << M, Δ R < < R \Delta R << R , сама величина R значительно больше гравитационного радиуса черной дыры, размерами белого карлика и релятивистскими эффектами пренебречь.

Решение

Показать решение

5. Решение. Перед сближением белый карлик и аппарат движутся навстречу друг другу с практически одинаковыми скоростями:

В системе отсчета, двигающейся в этот момент с белым карликом, скорость аппарата составляет 2v. Такой же по модулю она будет после сближения, но ее направление изменится на угол α \alpha . Чтобы аппарат покинул окрестности сверхмассивной черной дыры, его скорость в системе отсчета, связанной с черной дырой, должна быть равна второй космической, v 2 v\sqrt{2} . Угол поворота скорости аппарата в системе отсчета белого карлика можно определить из теоремы косинусов:

2 v 2 = v 2 + 4 v 2 − 4 v 2 cos α ; cos α = 3 4 . 2v^2 = v^2 + 4v^2 - 4v^2 \cos \alpha; \quad \cos \alpha = \frac{3}{4}.

Траектория аппарата относительно белого карлика представляет собой гиперболу с эксцентриситетом

e = 1 sin ( α / 2 ) = 2 1 − cos α = 2 2 . e = \frac{1}{\sin(\alpha/2)} = \sqrt{\frac{2}{1 - \cos \alpha}} = 2\sqrt{2}.

Обозначим минимальное расстояние между аппаратом и белым карликом как p, а его скорость относительно белого карлика как u. Учитывая, что на удалении от белого карлика скорость аппарата была равна 2v, из закона сохранения энергии имеем:

( 2 v ) 2 2 + G m p = u 2 2 . \frac{(2v)^2}{2} + \frac{Gm}{p} = \frac{u^2}{2}.

С другой стороны, из свойств гиперболического движения

u 2 = G m p ( 1 + e ) . u^2 = \frac{Gm}{p}(1+e).

Подставляя второе уравнение в первое, получаем

2 v 2 + G m p = G m 2 p ( 1 + e ) . 2v^2 + \frac{Gm}{p} = \frac{Gm}{2p}(1+e).

Отсюда мы получаем выражение для минимального расстояния между аппаратом и белым карликом:

p = G m v 2 ⋅ e − 1 4 = R m M ⋅ e − 1 4 . p = \frac{Gm}{v^2} \cdot \frac{e-1}{4} = R \frac{m}{M} \cdot \frac{e-1}{4}.

Для скорости аппарата относительно белого карлика имеем:

u 2 = G m p ( 1 + e ) = 4 G M R ⋅ e + 1 e − 1 ; u = 2 v e + 1 e − 1 . u^{2} = \frac{Gm}{p}(1+e) = \frac{4GM}{R} \cdot \frac{e+1}{e-1}; \quad u = 2v\sqrt{\frac{e+1}{e-1}}.

Расстояние между линией — продолжением скорости аппарата на бесконечности и белым карликом есть искомая разность радиусов орбит Δ R \Delta R . По закону сохранения момента импульса:

2 v ⋅ Δ R = u ⋅ p ; Δ R = u ⋅ p 2 v = p e + 1 e − 1 = R 4 ⋅ m M e 2 − 1 = R 7 4 ⋅ m M . 2v \cdot \Delta R = u \cdot p; \quad \Delta R = \frac{u \cdot p}{2v} = p \sqrt{\frac{e+1}{e-1}} = \frac{R}{4} \cdot \frac{m}{M} \sqrt{e^2 - 1} = \frac{R\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{m}{M}.

Корабль фактически выполняет пассивный гравитационный маневр, используя белый карлик для выхода из поля тяготения сверхмассивной черной дыры.

5. Система оценивания. Оценка за задание образуется из двух составляющих — качество решения и качество ответа, по 5 баллов за каждую часть. Ошибка, сделанная на каком-либо этапе решения (часть 1) не влияет на оценки за другие этапы решения, описанные в части 1, но может сказаться на оценке за часть 2, если она приводит к ошибке в ответе. Максимальная оценка за все решение составляет 10 баллов.