ЛАЗЕР СЛЕДЯЩИЙ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияКлассы неизвестны2019 Теоретическая Есть решение редакция rv_e5e7f66a75377e1e ID p_a1cf5714c7254fa2

1. Условие. Искусственный спутник Земли обращается по круговой экваториальной орбите на высоте 500 км над поверхностью Земли в направлении осевого вращения Земли. На нем установлен мощный узконаправленный прожектор, вращающийся так, чтобы держать на луче определенную точку на экваторе Земли всегда, когда это только возможно. Определите длительность каждого сеанса такого освещения, а также угловые скорости прожектора в начале и середине сеанса. Сам спутник не вращается вокруг своей оси, атмосферной рефракцией и поглощением света, а также действием на систему всех других тел пренебречь.

Решение

Показать решение

1. Решение. Земля завершает один оборот вокруг своей оси за одни звездные сутки $T_0$ =23.934ч. Скорость движения точки экватора за счет вращения Земли:

u = 2\pi R/T_0 = 0.465 \text{ km/c}

(R - экваториальный радиус Земли). Спутник обращается по круговой орбите на высоте Hнад поверхностью Земли. Определим его период и орбитальную скорость:

T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+H)^3}{GM}} = 1.577 \text{ час.}

v = \sqrt{\frac{GM}{R + H}} = 7.613 \text{ km/c}.

Здесь M – масса Земли. Изобразим Землю и орбиту спутника на рисунке и определим еще две нужные для решения величины:

Синодический период спутника – период между его пролетами над одной точкой поверхности Земли:

S = \frac{T T_0}{T_0 - T} = 1.688 \text{ vac.}

За этот период угол $\alpha$ — разность долгот спутника и точки поверхности — равномерно изменяется на 360°. Определим, при каком максимальном по модулю угле $\alpha$ спутник может направить прожектор на эту точку:

\alpha = \arccos \frac{R}{R+H} = 22^{\circ}.

Длительность одного сеанса — это время, за которое угол $\alpha$ меняется от $-22^{\circ}$ до $+22^{\circ}$ . Она составляет

\tau = S \cdot 2\alpha / 360^{\circ} = 0.206 \text{ час = 12.4 мин.}

Нам остается найти угловые скорости. В середине сеанса, когда точка Земли находится прямо под спутником, она будет иметь угловую скорость при наблюдении со спутника:

\omega_0 = \frac{v - u}{H} = 0.0143 \ c^{-1} = 0.82^{\circ} / c.

Такую угловую скорость нужно задать прожектору в середине сеанса, чтобы он мог непрерывно освещать данную точку Земли. В начале и конце сеанса скорость точки Земли направлена к спутнику или от него и на угловую скорость не влияет. Компонента скорости спутника, перпендикулярная направлению на точку Земли, равна

v_C = v \sin \alpha = 2.852 \text{ km/c}.

а расстояние между точкой Земли и спутником

L = \sqrt{(R+H)^2 - R^2} = R \operatorname{tg} \alpha = 2575.5 \text{ км.}

Угловая скорость прожектора должна быть равна

\omega = \frac{v_{\rm C}}{L} = \frac{v \cos \alpha}{R} = \frac{v}{R+H} = \sqrt{\frac{GM}{(R+H)^3}} = \frac{2\pi}{T} = 0.00111 \,\mathrm{c}^{-1} = 0.063^{\circ}/\mathrm{c}.

К этому выводу можно было прийти из простых рассуждений: в начале и конце сеанса прожектор должен просто удерживать направление по касательной к экватору Земли, то есть компенсировать угловую скорость движения спутника, вращаясь с той же угловой скоростью в противоположном направлении. Максимальная и минимальная угловая скорости прожектора имеют один знак.

Критерии

Показать критерии

1. Система оценивания.

Этап 1 – 3 балла. Определение длительности сеанса связи.

Выполнение предусматривает определение максимального угла $\alpha$ (2 балла) и синодического периода либо разницы угловых скоростей спутника и Земли (1 балл). Требуемая точность – 1° или 5%. Вместо угла $\alpha$ может определяться соответствующая дуга длины орбиты. В случае ошибки определения длины сеанса вследствие неправильного задания интервала $[0..\alpha]$ вместо $[-\alpha..\alpha]$ оценка за этап уменьшается до 1 балла, но последующие этапы оцениваются в полной мере. Участник олимпиады может использовать среднюю величину радиуса Земли вместо экваториальной, что не является ошибкой.

Этап 2 – 3 балла. Определение угловой скорости в середине интервала.

Вероятная ошибка: угловая скорость определяется как разность угловых скоростей спутника и Земли и оказывается близкой к геоцентрической угловой скорости спутника $(0.0012\ c^{-1})$ . В этом случае за этап выставляется 0 баллов. Такая же оценка ставится за любое задание выражения для угловой скорости, приведенное к центру Земли.

Вероятная ошибка: при расчете угловой скорости не учитывается вращение Земли, что приводит к величине v/H=0.015 рад/с или 0.87°/с. Оценка за этап уменьшается на 1 балл.

Этап 3 – 2 балла. Определение угловой скорости в начале и конце интервала.

Возможно как вычисление этой угловой скорости, так и доказательство, что она совпадет с угловой скоростью орбитального вращения спутника. При численном ответе, не совпадающем с угловой скоростью вращения спутника (допустимая погрешность 5%), этап решения не засчитывается.

Возможная ошибка при решении: участник переходит в систему отсчета, вращающуюся с Землей, вращение спутника в ней происходит с меньшей, но постоянной скоростью. Такое решение производить можно, но необходимо учитывать, что сам спутник в этой системе отсчета будет вращаться вокруг своей оси, и при расчете угловой скорости прожектора необходимо сделать соответствующую поправку. Без нее угловая скорость прожектора, в частности, в начале и конце сеанса окажется равной нулю, а угловая скорость в середине сеанса будет несколько меньше правильной. При таком решении первый этап оценивается в зависимости от правильности его выполнения, за второй и третий этап выставляется по 1 баллу в случае отсутствия иных ошибок. Максимальная оценка за все решение — 5 баллов.

Подборка