Все задачи

Решение. Вначале обратим внимание, что кроме эффекта Пойтинга-Робертсона на частицу будет действовать световое давление, основная компонента которого направлена от Солнца. Определим силу светового давления на расстоянии 1 а.е. от Солнца:

с текущим положением внутренней точки Лагранжа $L_1$ системы "планета-звезда". При каком отношении масс планеты и звезды (m/M<1) аппарат сможет без коррекций орбиты быстрее всего вернуться к планете? Взаимодействие аппарата с планетой не учитывать.

Решение. Для начала определим расстояние точки Лагранжа $L_1$ от планеты r. В этой точке физическое тело может вращаться вокруг звезды с той же угловой скоростью $\omega$ , что и планета. Запишем уравнения движения этого тела и планеты:

Решение. Изобразим Землю и лунную тень и полутень со стороны Солнца в указанный момент. Коль скоро полное затмение видно у горизонта, центр тени и полутени будет располагаться на краю изображения Земли. Для удобства расположим точку В в верхней части рисунка (в реальности таких точек две, В и В', ответ на задачу в них будет олинаковым)

Решение. Коль скоро звезда находится на небесном экваторе, ее восход будет происходить в точке востока. Изобразим звезду, Солнце и линии горизонта для обеих широт.

Решение. Ответим сначала на первый вопрос задачи. Пусть R – радиус Луны (1738 км), а r – радиус осколка (5 м). Объем Луны составляет (4/3)πR3 , Объем осколка – (4/3)πr 3 . Поскольку объем всех осколков равен объему Луны, полное число этих тел равно

Решение. Мы видим, что склонение звезды немного отличается от широты места наблюдения. Тем не менее, звезда может попасть в зенит, так как ее положение на небе смещается за счет аберрации света – явление, вызванного орбитальным движением Земли. Аберрационное смещение звезды направлено к точке неба, к которой движется Земля в настоящий момент. В общем случае (вообще говоря, не требующемся для решения данной задачи) величина аберрационного смещения в радианах равна

Решение. Перечислим все факторы, которые будут влиять на размер области неба, которая может быть покрыта Землей при наблюдении с лунной обсерватории. Земля имеет значительный угловой размер (максимально возможный радиус r около $1.02^{\circ}$ ) и движется относительно звезд вдоль линии пересечения небесной сферы и плоскости орбиты системы Земля-Луна. Ось этой линии наклонена на угол i (5.15°) к оси эклиптики и вращается вокруг нее с периодом 18.6 лет. Таким образом, Земля в своем движении заметает пояс вдоль эклиптики шириной

Решение. Полярная звезда не находится точно в Северном полюсе мира и описывает вокруг него суточный круг с радиусом $\rho$ , равным 40′. Центр этого круга располагается на высоте $\phi$ =60°, на альмукантарате с длиной, вдвое меньшей горизонта (большого круга небесной сферы). Поэтому азимут Полярной звезды изменяется практически синусоидально с периодом в звездные сутки T и амплитудой $A_0$ (отклонением от севера) в $\rho$ /соз $\phi$ = 80′. В момент, когда азимут отличается от северного на эту величину, у скорости корабля появляется компонента, направленная вдоль параллели, и равная

Решение. Определим расстояние L, с которого Плутон виден как диск с угловым диаметром $\alpha$ :

Решение. Выражая массу компонент в массах Солнца, период в годах, а расстояние – в астрономических единицах, запишем III закон Кеплера и найдем расстояние между белыми карликами:

Решение. Аберрация света – явление отклонения положения звезды на небе, вызванное орбитальным движением Земли. Аберрационное смещение звезды направлено к точке неба, к которой движется Земля в настоящий момент. В общем случае (вообще говоря, не требующемся для решения данной задачи) величина аберрационного смещения в радианах равна

| Планета | Прямое

Решение. Казалось бы, задачу нельзя решить, не зная текущую конфигурацию Марса, зависящую от неизвестного положения Солнца. Однако мы можем подметить интересную особенность — внутренние планеты, Меркурий и Венера, располагаются необычно далеко друг от друга. Они находятся вблизи эклиптики по разные стороны от экватора, и угловое расстояние между ними можно найти по теореме Пифагора:

Решение. Изобразим путь Луны сквозь земную тень на небесной сфере так, чтобы верх рисунка соответствовал направлению на север – так, как это делается во всех астрономических справочниках. Тогда горизонтальное направление будет параллельно небесному и земному экватору.

Решение. Если в момент пересечения Северного полярного круга Солнце оказалось в точке севера, значит, дело происходило вблизи летнего солнцестояния, и склонение Солнца было равно $\epsilon$ =23.4°. Если бы наблюдатель на Земле был неподвижным, движение Солнца в этот момент происходило бы вдоль горизонта с угловой скоростью

• 6. Условие. На рисунке показана зависимость звездной величины некоторой кометы на Земле от времени. Определите большую полуось и эксцентриситет орбиты кометы. Считать, что орбита лежит в плоскости эклиптики и не заходит внутрь орбиты Земли. Светимость кометы обратно пропорциональна четвертой степени ее расстояния от Солнца, комета рассеивает свет равномерно во всех направлениях. Орбиту Земли считать круговой. (О.С. Угольников/Е.Н. Фадеев)

6. Решение. По условию задачи, светимость кометы достаточно резко зависит от ее расстояния до Солнца. Звездная величина кометы, регистрируемая на Земле, меняется вследствие изменения расстояний между кометой и Солнцем и между кометой и Землей.

• 5. Условие. В Галактике Млечный Путь раз в 20 лет вспыхивают Сверхновые II типа с абсолютной звездной величиной $-18^{\rm m}$ . Насколько часто такие Сверхновые появляются в небе Земли с блеском ярче Венеры $(-4^{\rm m})$ ? Радиус Галактики считать равным 15 кпк, поглощение света составляет $2^{\rm m}$ на кпк. $(O.C.\ Угольников)$
• 5. Решение. Для решения задачи необходимо найти расстояние до сверхновой звезды, при котором она светила бы в небе Земли с блеском Венеры. В условиях межзвездного поглощения звездная величина объекта зависит от расстояния до него как:

$$m = M - 5 + 5 \lg r + E \cdot r$$

• 4. Условие. Видимая звездная величина звезды Регул равна $+1.4^{\rm m}$ , расстояние до нее 24 пк, масса -3.5 массы Солнца, период осевого вращения -16 часов. Исходя из этих данных, найдите минимально возможное значение температуры поверхности Регула.

• 6. Условие. В ходе космической экспедиции будущего на небольшой астероид была установлена мощная лампа, работающая от стабильного атомного источника энергии. На рисунке показана зависимость звездной величины лампы на Земле от времени. Определите большую полуось и эксцентриситет орбиты астероида. Считать, что орбита лежит в плоскости эклиптики и не заходит внутрь орбиты Земли, астероид не отражает и не затеняет свет лампы, а сама лампа равномерно светит во все стороны и всегда существенно ярче самого астероида. Орбиту Земли считать круговой. (О.С. Угольников/E.Н. Фадеев)

6. Решение. По условию задачи, лампа работает от автономного источника энергии, независимого от условия освещения Солнцем. Звездная величина лампы, регистрируемая на Земле, меняется только вследствие изменения расстояния между Землей и астероидом, на котором установлена лампа.

5. Условие. После обработки всех данных космической обсерватории GAIA будут с достаточной точностью получены параллаксы объектов в двух спутниках нашей Галактики, Большом и Малом Магеллановых облаках. Предполагаемый параллакс Большого Магелланового Облака (БМО) составляет 20 микросекунд дуги. Определите, во сколько раз дальше от нас находится Галактика Андромеды, если расстояние до нее порядка 800 кпк. Возможно ли из данных GAIA определить параллакс туманности Андромеды, если параллакс БМО определен с точностью 10%? (С.Г. Желтоухов)

5. Решение. Определим расстояние до Большого Магелланова Облака:

$$D_M(\Pi \kappa) = 1 / p_M'' = 50000.$$

• 4. Условие. Видимая звездная величина звезды Регул равна $+1.4^{\rm m}$ , расстояние до нее 24 пк, масса -3.5 массы Солнца, период осевого вращения -16 часов. Исходя из этих данных, найдите минимально возможное значение температуры поверхности Регула. (О.С. Угольников)