Все задачи

• 3. Условие. На земном небе есть 14 звезд ярче 1m, примерно в 3 раза больше звезд с блеском от 1m до 2m, еще в 3 раза больше звезд от 2m до 3m и т.д. Можно ли поверить любителю астрономии, который утверждал, что видел Венеру, сияющую столь же ярко, как все звезды ночного неба, видимые глазом, вместе взятые?
• 3. Решение. Примем, что блеск каждой из 14 звезд ярче 1m составляет 0.5m, и обозначим освещенность от одной такой звезды через J. Освещенность от всех 14 звезд составит 14·J. Примем далее, что блеск всех звезд от 1m до 2m составляет 1.5m. Тогда освещенность от одной такой звезды составит J/2.512, а от всех звезд этого блеска (их всего 14·3) – 14·J·(3/2.512). Учитывая, что глазом видны звезды до 6m и продолжая эту процедуру для звезд 2.5m, 3.5m, 4.5m и 5.5m, получаем значение освещенности от всех звезд, видимых глазом, как суммы геометрической прогрессии:

$$J_0 = J \cdot 14 \cdot \left(1 + \frac{3}{2.512} + \dots + \left(\frac{3}{2.512}\right)^5\right) = J \cdot 14 \cdot \frac{\left(\frac{3}{2.512}\right)^6 - 1}{\frac{3}{2.512} - 1} = J \cdot 137.$$

• 2. Условие. В каком случае продолжительность центрального покрытия звезды Луной (покрытия, при котором звезда проходит за центром диска Луны) больше – если Луна находится в перигее (видимый диаметр 33.5′) или в апогее (видимый диаметр 29.5′) орбиты и во сколько раз? Эффектами осевого вращения Земли пренебречь.
• 2. Решение. С первого взгляда может показаться, что вблизи перигея орбиты Луна, имеющая больший угловой диаметр, будет покрывать звезду на большее время. На самом деле, ситуация противоположна. Если пренебречь эффектами осевого вращения Земли и считать наблюдателя неподвижным, то продолжительность центрального покрытия звезды будет равна интервалу времени, за которое Луна в ходе своего орбитального движения преодолеет расстояние, равное собственному диаметру. Иными словами, продолжительность центрального покрытия обратно пропорциональна величине тангенциальной скорости Луны. А по II закону Кеплера (или по закону сохранения момента импульса) тангенциальная скорость обратно пропорциональна расстоянию от Земли до Луны. В итоге, продолжительность центрального покрытия звезды прямо пропорциональна расстоянию от Земли до Луны и будет больше, когда Луна находится в апогее, нежели когда она в перигее.

• 1. Условие. Определите продолжительность гражданских сумерек для наблюдателя на экваторе и на полюсе Земли. Видимыми размерами Солнца и атмосферными эффектами пренебречь.
• 1. Решение. Если пренебречь видимыми размерами Солнца и атмосферными эффектами, то гражданские сумерки продолжаются, пока значение высоты Солнца находится в интервале от –6° до 0°. На экваторе Солнце каждый день восходит и заходит, двигаясь при этом перпендикулярно горизонту. В течение сумерек оно проходит угловое расстояние, равное 6°. В дни равноденствий суточное движение Солнца происходит по большому кругу небесной сферы, проходящему через зенит и надир. Угловая скорость суточного движения Солнце составляет 360° в сутки или 15° в час. Соответственно, гражданские сумерки будут длиться 24 минуты.

• 5. Условие. 15 января 2009 года планета Венера оказалась в наибольшей восточной элонгации (47°). В каком созвездии она при этом находилась? В какой день в ближайшее время Венера будет наблюдаться рядом с Луной, если известно, что 26 января 2009 года на Земле произойдет кольцеобразное солнечное затмение?
• 5. Решение. Венера находится в наибольшей восточной элонгации, в 47° к востоку от Солнца вдоль эклиптики, опережая его в ходе годового движения. Данный отрезок чуть больше, чем 1.5-месячный путь Солнца или 1.5 дуги эклиптики, проходящей по одному зодиакальному созвездию. Солнце 15 января находится в восточной части созвездия Стрельца. Венера располагается вблизи точки эклиптики, где Солнце окажется на рубеже февраля и марта. Эта точка находится в созвездии Водолея. Венера в течение января 2009 года великолепно видна по вечерам в течение продолжительного времени.

• 3. Условие. Найдите суммарный блеск тройной звездной системы, состоящей из звезд 5, 6 и 8 звездной величины.
• 3. Решение. Пусть звезда $8^{\rm m}$ создает на Земле освещенность J. Тогда звезда $6^{\rm m}$ создаст освещенность $(2.512)^2 \cdot J$ , а звезда $5^{\rm m}$ освещенность $(2.512)^3 \cdot J$ . Суммарная освещенность от трех звезд будет равна

$$J_0 = J + (2.512)^2 \cdot J + (2.512)^3 \cdot J = 23.16 \cdot J.$$

• 6. Условие. Небольшая планета обращается вокруг центральной звезды по круговой орбите. На каждом обороте планеты в одной и той же точке ее орбиты она тесно сближается с одной и той же кометой, которая в этот момент проходит точку апоцентра своей орбиты и располагается на небе планеты в 90° от центральной звезды. Определите эксцентриситет орбиты кометы. Орбитальные периоды планеты и кометы различаются, взаимодействием планеты и кометы пренебречь.

4. Условие. Марсианский астроном, работающий в северном полушарии планеты, зафиксировал дни, когда склонение Солнца становится максимальным, и дни, когда Солнце пересекает марсианский небесный экватор, то есть дни солнцестояний и равноденствий. Пользуясь этими данными (пересчитанными на земное летоисчисление) определите, на какой астрономический сезон марсианского года и стадию сезона (начало, конец) приходится прохождение Марсом точек перигелия и афелия своей орбиты?

4. Решение. Из II закона Кеплера известно, что при движении по эллипсу наибольшая скорость достигается в точке перицентра, а наименьшая — в апоцентре. Моменты солнцестояний и равноденствий фиксируют положения Марса на орбите относительно Солнца, отстоящие на 90° друг от друга. Посчитаем продолжительность четырех астрономических сезонов:

• 3. Условие. В исламском лунном календаре год состоит из 12 лунных месяцев, половина из которых состоит из 29 дней, половина – из 30 дней. За 30 лет в календарь вставляется 11 високосных дней. Определить, за какой промежуток времени в лунном календаре набежит лишний год по сравнению с григорианским календарем.
• 3. Решение. Лунный год TL в исламском календаре составляет 12 лунных месяцев по 29.5 дней, то есть 354 дней, плюс еще (11/30) дней за счет добавления 11 високосных суток за 30 лет. Получившееся значение (354.3667 дней) практически совпадает с продолжительностью 12 синодических лунных периодов. Но эта величина на 10.8758 дней меньше

• 2. Условие. Некоторая звезда видна на небе в Москве в ночь 22-23 декабря с 10 часов вечера до 6 часов утра по московскому времени. В какое время ее можно будет увидеть в Москве в ночь 22-23 апреля?

• 1. Условие. Определите продолжительность гражданских сумерек в день равноденствия для наблюдателя на экваторе Земли. Видимыми размерами Солнца и атмосферными эффектами пренебречь.

5. Условие. Блеск Венеры в момент наибольшей элонгации равен —4.5m (фаза 0.5, угловой диаметр 24"), а Сириуса —1.5m. Сравните их поверхностную яркость для наблюдателя с телескопом диаметром 100 мм и увеличением 100 крат. Влиянием атмосферы пренебречь, разрешающую способность глаза принять равной 1'.

3. Условие. На далекой обитаемой планете тепловые условия аналогичны земным, но местное Солнце имеет вдвое меньший угловой диаметр. Найдите температуру этой далекой звезды.

1. Условие. Для наблюдателя на экваторе высота Солнца в момент равноденствия равна $30^{\circ}$ , азимут $+90^{\circ}$ . Определить среднее солнечное время в данной точке, если уравнение времени $\eta = +7^{m}$ . Рефракцией и суточным параллаксом Солнца пренебречь.

6. Условие. Оцените скорость метеора, угловая длина пути которого на небе составила 30 градусов, если известно, что он загорелся в зените на высоте 100 км над поверхностью Земли и пролетел весь путь за 1 секунду.

5. Условие. Блеск Венеры в момент наибольшей элонгации равен –4.5m (фаза 0.5, угловой диаметр 24″), а Сириуса –1.5m. Сравните их поверхностную яркость для наблюдателя с телескопом диаметром 100 мм и увеличением 100 крат. Влиянием атмосферы пренебречь, разрешающую способность глаза принять равной 1′.

4. Условие. Двойная звезда состоит из одинаковых компонент, каждая из которых вдвое тяжелее Солнца, движущихся по круговым орбитам вокруг общего центра тяжести. При наблюдении с Земли угловое расстояние изменяется от 2″ до 4″ с периодом в 10 лет. Найдите расстояние до двойной звезды.

2. Условие. Определите ширину (в км) полосы вдоль Северного полярного круга, в которой бывает полярный день, но не бывает полярной ночи.

Границы наступления полярного дня и полярной ночи различаются из-за явления атмосферной рефракции, составляющей у горизонта 35′ (обозначим эту величину как R) и конечного видимого радиуса Солнца r, равного 16′. Оба эффекта вместе приводят к тому, что верхний край Солнца появляется над горизонтом уже тогда, когда истинная глубина его центра составляет R + r = 51′. Если обозначить широту Северного полярного круга через ϕ, то мы видим, что полярный день в момент летнего солнцестояния может наблюдаться и к югу от него, на широте

$$\varphi_1 = \varphi - (R + r),$$

1. Условие. На рисунках приведены фотографии одного полного солнечного затмения, полученные разными людьми. На фотографиях также видны планеты Меркурий (слабый) и Венера (яркая), вблизи эпохи их верхнего соединения. Какой из снимков не соответствует действительности? Почему вы так решили?

Сколько должно пройти нижних соединений, чтобы таким образом построить полную карту Венеры? Венера совершает один оборот вокруг Солнца за 224.70 суток, а вокруг оси – за 243.02 суток.

5. Условие. Высадившись на экватор Луны, космонавты наблюдают восход Земли над горизонтом. На какую максимально возможную высоту может подняться Земля в этом районе Луны?