Все задачи

4. Условие. Астрономическая обсерватория будущего построена на одной из карликовых планет Солнечной системы, обращающейся по круговой орбите. Измерения положения звезды, удаленной от Солнца на 10 пк, показали, что ее параллактическое и аберрационное смещения в течение одного оборота планеты вокруг Солнца имеют одинаковые амплитуды. Найдите орбитальный период планеты, на которой построена обсерватория. (О.С. Угольников)

4. Решение. Амплитуда параллактического смещения звезды при наблюдении с планеты составляет

$$p'' = 206265'' \ r/L = r \text{ (a.e.)} / L \text{ (пк)},$$

• 3. Условие. Двойная система состоит из одинаковых звезд, идентичных Солнцу и обращающихся по круговым орбитам на расстоянии 1 а.е. друг от друга. В результате близкого пролета еще одной такой же звезды система распалась, все три звезды навсегда покинули окрестности друг друга. Определите минимальную скорость третьей звезды относительно центра двойной системы до сближения. (О.С. Угольников)
• 3. Решение. Обозначим массы каждой звезды как M, расстояние между ними a. Каждая из них движется по окружности радиусом a/2 со скоростью $v_0$ , для которой справедливо соотношение:

$$\frac{GM^2}{a^2} = \frac{2Mv_0^2}{a}; \quad v_0 = \sqrt{\frac{GM}{2a}}.$$

• 2. Условие. 30 октября 2021 года планета Венера оказалась в наибольшей восточной элонгации в небе Земли, а сама Земля – в наибольшей западной элонгации в небе Сатурна. Какая из планет – Венера или Сатурн – после этого раньше вступит в соединение (любое) с Солнцем в небе Земли и на сколько времени? Орбиты всех планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости. (А.А. Автаева/О.С. Угольников)
• 2. Решение. Изобразим положение всех трех планет на своих орбитах в указанный день:

• 1. Условие. Пункты A и B находятся на широте +60° в одном часовом поясе. Некоторая далекая звезда, расположенная на небесном экваторе, в один день взошла над горизонтом в пункте A в 06ч00м по поясному времени. Она же зашла за горизонт в этот день в пункте B в 17ч55м по времени того же пояса. Найдите расстояние между пунктами A и B по поверхности Земли. Рельефом Земли пренебречь. (О.С. Угольников)
• 1. Решение. По условию задачи, звезда находится на небесном экваторе. Если бы не эффект атмосферной рефракции, то в любой точке Земли, кроме полюсов, звезда находилась бы над горизонтом ровно половину звездных суток, то есть 11 часов и 58 минут, а потом такое же время располагалась под горизонтом. Однако, рефракция несколько увеличивает период нахождения звезды над горизонтом. Если мы обозначим угловую величину рефракции у горизонта через ρ, то восход звезды на широте ϕ произойдет раньше, чем в случае отсутствия атмосферы, на величину

6. Условие. 12 декабря 2023 года произойдет редкое явление – покрытие яркой звезды Бетельгейзе (α Ориона, α = 05ч55.2м, δ = +7°24′) астероидом Леона. Перед Вами карта видимости этого явления, на которой указана полоса видимости (границы соответствуют внутренним жирным линиям) и моменты середины покрытия в разных пунктах Земли по Всемирному времени в минутах после 1ч. Считая орбиту Леоны круговой, оцените ее видимую звездную величину в момент явления. Считать сферическое альбедо Леоны равным 0.05, а Бетельгейзе – точечным источником на небе. (О.С. Угольников)

6. Решение. По координатам Бетельгейзе и дате явления мы видим, что в это время звезда и астероид будут располагаться практически в противостоянии с Солнцем, причем недалеко от эклиптики. Это значительно упрощает все оценки.

• 5. Условие. При наблюдении из окрестностей звезды A звезды B и C имеют одинаковую звездную величину $1^m$ . При наблюдении из окрестностей звезды B звезды A и C имеют одинаковую звездную величину $2^m$ . Какая из звезд A или B выглядит ярче из окрестностей звезды C и на сколько звездных величин? Межзвездным поглощением пренебречь. (O.C. Угольников)
• 5. Решение. Из условия задания мы видим, что звезда B при наблюдении со звезды A имеет блеск $1^m$ , а звезда A при наблюдении со звезды B, с того же расстояния, на одну звездную величину слабее. Следовательно, звезда B физически ярче звезды A на одну звездную величину.

• 4. Условие. Астрономическая обсерватория будущего построена на одном из карликовых тел Солнечной системы, обращающемся вокруг Солнца по круговой орбите. Астрометрические измерения одной звезды показали, что в своем движении относительно более далеких звезд в этой области неба она описывает окружность радиусом 0.5″ с периодом 200 лет. Определите расстояние до этой звезды. Известно, что звезда не входит в состав какой-либо двойной или кратной системы. (О.С. Угольников)
• 4. Решение. Положение звезды измеряется относительно более далеких звезд и при этом описывает окружность. Известно также, что звезда не входит в двойную систему. Следовательно, это есть параллактическое смещение звезды за счет движение обсерватории вокруг Солнца.

• 3. Условие. В романе Жюля Верна «Таинственный остров» герои оказываются на неизвестном острове и называют его островом Линкольна. В ходе действий книги они узнают, что координаты острова Линкольна – 34°57′ ю. ш., 150°30′ з. д. Позже они нашли карты и узнали, что такого острова на них нет, но поблизости есть риф Марии-Терезы (он же остров Табор, координаты 37°11′ ю. ш., 151°15′ з. д.). Герои произведения путешествовали к нему и обратно на самодельном небольшом корабле. Какое расстояние они прошли (туда и обратно вместе), если считать, что двигались они по самому короткому пути? (А.А. Автаева)
• 3. Решение. Острова находятся недалеко друг от друга, поэтому можно рассматривать картину как евклидову на плоскости, но помня при этом, что длина дуги в 1° вдоль меридиана и параллели отличается, так как дело происходит вдали от экватора. Определим разницу широт и долгот островов Линкольна и Табор:

$$\Delta \varphi = 2^{\circ}14' = 2.23^{\circ};$$

$\Delta \lambda = 45' = 0.75^{\circ}.$

• 2. Условие. 30 октября 2021 года планета Венера оказалась в наибольшей восточной элонгации в небе Земли, а сама Земля – в наибольшей западной элонгации в небе Сатурна. Определите угловое расстояние между Венерой и Сатурном при наблюдении с Земли в этот день. Орбиты всех планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости. (А.А. Автаева/О.С. Угольников)
• 2. Решение. Изобразим положение всех трех планет на своих орбитах в указанный день:

• 1. Условие. В некотором пункте на экваторе Земли далекая звезда 1 с прямым восхождением 02ч00м взошла над горизонтом в 01ч00м по местному времени. В какое местное время в этом пункте в этот день зайдет за горизонт далекая звезда 2 с прямым восхождением 08ч00м? Атмосферной рефракцией пренебречь. (О.С. Угольников)
• 1. Решение. На экваторе, если не учитывать рефракцию, восход любой звезды на 6 часов по звездному времени предшествует ее верхней кульминации, при которой звездное время равно прямому восхождению звезды. То есть, звезда 1 восходит в 20 часов по звездному времени. Заход звезды происходит через 6 звездных часов после кульминации, то есть для звезды 2 он произойдет в 14 часов по звездному времени.

Условие. Звезда HD 49798 выглядит в телескоп как одиночная, но ее лучевая скорость колеблется с периодом T0=1.55 дня, данные измерений лучевой скорости показаны на рисунке 1. Рядом с оптической звездой был обнаружен рентгеновский источник RX J0648.0–4418, оказавшийся белым карликом. Источник проявляет быструю переменность с периодом своего осевого вращения 13.2 секунды, но его максимумы регистрируются неравномерно, с задержкой τ, зависимость которой от орбитальной фазы также показана на рисунке 1. Еще позже выяснилось, что этот белый карлик сжимается и за счет этого ускоряет осевое вращение, его период уменьшается на 2.5·10–15 секунды в секунду. Этот объект стал первым белым карликом, у которого был замечен процесс сжатия.

• (1) Считая, что луч зрения лежит в плоскости круговых орбит двойной системы, определите массы оптической звезды и белого карлика.
• (2) Пренебрегая изменением момента вращения белого карлика за счет аккреции газа с оптической звезды и считая, что он сжимается при постоянной массе, оцените, за какое время радиус белого карлика уменьшится на 1 км. Считать распределение плотности внутри белого карлика однородным. Приливное взаимодействие с оптической звездой не учитывать. На рисунке 2 приведена связь характерных значений масс и радиусов белых карликов (величины заданы в десятичных логарифмах отношения масс и радиусов к солнечным).

Рисунок 2.

Условие. Яркая быстрая звезда пролетает далеко позади шарового звездного скопления с массой 300 тысяч масс Солнца и диаметром 30 пк. При наблюдении в небольшой телескоп на Земле скопление имеет однородную поверхностную яркость. Видимая траектория звезды проходит за центром скопления. Во время пролета у звезды могут наблюдаться вспышки видимой яркости за счет сильного гравитационного микролинзирования на звездах скопления. Вспышка происходит, если геоцентрический угол γ между направлениями на далекую звезду-источник и звезду-линзу становится меньшим или равным 2rG/r (радиан), где r – минимальное расстояние между отрезком «Земля – далекая звезда» и линзой, rG – гравитационный радиус линзы (см. рисунок). При каком расстоянии от Земли до скопления у далекой звезды за время пролета вероятно ожидать хотя бы одну вспышку?

Считать, что скопление находится в небе Земли на эклиптике, движение далекой звезды происходит вдоль эклиптики. Собственным движением скопления и его звезд пренебречь.

Условие. Протозвезда (будущая звезда, в недрах которой еще не начались термоядерные реакции) имеет массу, равную массе Солнца, солнечный химический состав и абсолютную звездную величину $0^{\rm m}$ . Оцените, за какое время эта протозвезда сожмется до солнечных размеров. Считать, что во время сжатия протозвезда не вращается, не теряет массу и сохраняет постоянную эффективную температуру поверхности в 3500 K.

Условие. В первые дни апреля 2020 года планета Венера прошла по звездному скоплению Плеяды. Оцените звездную величину самых ярких звезд скопления, покрытия которых Венерой произошли на Земле. Считать орбиты Венеры и Земли круговыми, и что в это время Венера находилась в наибольшей восточной элонгации, проходя на небе через центр скопления. Считать Плеяды в небе Земли кругом с угловым диаметром $1.5^{\circ}$ , принять, что его звезды распределены на небе внутри этого круга однородно. Считать также, что количество звезд скопления, имеющих светимость более J, пропорционально $J^{-1/2}$ .

Условие. Планета обращается по эллиптической орбите с большой полуосью $a_1$ и эксцентриситетом e вокруг звезды — красного гиганта. В один момент звезда быстро сбрасывает оболочку, уносящую ровно половину массы гиганта. Тем не менее, эксцентриситет орбиты планеты остался без изменений. Считая процесс сброса оболочки и ее ухода из системы мгновенным, определите расстояние от планеты до звезды r в этот момент и новую большую полуось орбиты $a_2$ . Обе величины выразить как функции эксцентриситета e. При каких эксцентриситетах орбиты такое вообще возможно? Взаимодействие оболочки с планетой с момента сброса не учитывать, планета несравнимо меньше звезды по массе.

Условие. Звезда R136a1 в рассеянном звездном скоплении R136 в Большом Магеллановом облаке является самой массивной из известных в настоящее время звезд, ее масса оценивается в 315 масс Солнца. Абсолютная болометрическая звездная величина этой звезды равна $-12.62^{\rm m}$ . Звезда является источником сильнейшего звездного ветра с темпом в $5.1\cdot10^{-5}$ масс Солнца в год. Как и во сколько раз эта звезда быстрее теряет водород — в виде звездного ветра или в термоядерных реакциях синтеза гелия, которые являются основным источником излучаемой энергии? Считать, что химический состав звезды и ее ветра аналогичен солнечному, ядро гелия-4 на 0.7% легче четырех протонов.

Условие. На Земле появился человек с исключительно острым зрением. Чтобы заметить звезду на небе, ему достаточно зафиксировать каждым глазом в среднем по одному фотону от звезды за такт фиксации изображения (0.04 секунды). Диаметр зрачка глаза при этом равен 8 мм, спектральные свойства зрения такие же, как у обычного человека. Какой будет проницающая способность зрения такого человека в звездных величинах? Условия для наблюдений идеальные, атмосферные эффекты не учитывать.

Условие. Звезда – красный гигант обладает системой из очень большого количества планет, движущихся по орбитам с одинаковыми эксцентриситетами. В один момент звезда быстро сбрасывает оболочку, уносящую ровно половину массы гиганта. Тем не менее, 70% планет в итоге остались в системе звезды. Определите эксцентриситет орбит планет до сброса оболочки. Считать, что оболочка рассеивается очень быстро, ее взаимодействие с планетами с момента сброса, а также взаимодействие планет между собой не учитывать. Все планеты несравнимо меньше звезды по массе.

Условие. В местную полночь на 16 сентября на экваторе Земли астроном отметил, что затменная переменная звезда Алголь достигла своего главного минимума. Сколько еще главных минимумов Алголя сможет наблюдать этот астроном невооруженным глазом в этом пункте в последующие три недели? В какие дни (по местному времени) они произойдут? Координаты Алголя равны α = 3ч08м, δ = +41.0°, период – 2.867 суток. Считать, что Луна не мешает наблюдениям, а погода всегда безоблачная. Считать минимум звезды мгновенным событием.

Условие. В Ваше распоряжение попал наземный телескоп со специальным прибором, позволяющим разрешать видимые диски далеких звезд, если их угловой диаметр не меньше 0.02". Какими могут быть эффективные температуры звезд, диски которых Вы сможете различить? Атмосферные помехи и межзвездное поглощение не учитывать.