4. Период обращения планеты (В.В. Порфирьев, 2004, обработка и дополнение — М.Г. Гаврилов, 2004)

1. Созвездия в Подмосковье. (Н.Е. Шатовская, обработка и дополнения – О.С. Угольников, 2004.)

7. Движение Солнца по небу. (В.В.Порфирьев, 2004, обработка и дополнения – О.С. Угольников, М.Г. Гаврилов)

Прологарифмируем формулу N~г D, получив зависимость:

$$\lg N \sim D \lg r + const.$$ (1)

Тогда хаусдорфскую размерность можно найти как угловой коэффициент касательной, проведенной к графику в логарифмических координатах.

Видимая звездная величина связана с абсолютной формулой m=М – 5 + 5 lg г, сравнивая c формулой (1), получаем

$$D=5a$$

где a - угловой коэффициент касательной lg N ~ a lg d + const. Из графика (слева) видно, что в интервале 12-18 видимой звездной величины (близкие расстояния) размерность D = 0,6 - 5=3, что совпадает с размерностью пространства, а в более крупных масштабах D = 0,4 – 5 = 2, что говорит о разреженности (фрактальности) галактической структуры (Вселенная «разрежена»).

Справа - график из статьи М. Montuori, F. Sylos Labini, A. Gabrielli, A. Amid and L. Pietronero "Galaxy number counts and fractal correlations"; Europhysics Letters 39. 103-108 (1997)

Причины замедления роста N(m) - а) космологические, б) эффекты селекции.

Из рис.2: угловой диаметр скопления ~ 0,5". При удалённости 3,6 Мпк это соответствует линейному диаметру

D = 3 600 000 пк $$\times$$ 0,5 / 200 000 $\approx$ 10 пк.

Оценивая отношение яркостей скопления и красного гиганта по отношению площадей их изображений на Рис.2 (красный гигант засвечивает 1 клеточку, шаровое скопление – 50), получаем ~ 50 или около 4 звёздных величин. Тогда видимая величина скопления

$$m = 25 - 4 = 21$$ .

(Примечание: точное значение 20,7.) Расстоянию 3,6 Мпс соответствует (m-М) = 27,8. Отсюда абсолютная величина скопления

$$M = 21 - 27.8$$ " -7.

Найденные D и М попадают в интервал их значений для Галактики.

Как видно из рис.1 и 2, поверхностная яркость карликовой галактики очень низка. Она недостаточна для получения спектра, т.е. для измерения лучевой скорости, определения химического состава и т.п. Но его позволяют получить яркие детали - шаровое скопление и газовая туманность.

X Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса

Творческо-практический тур. Решения задач

г. Курск, 4-10 апреля 2003 г.

11 класс.

Ожидаемые ответы.

Приведённые вычисления соответствуют центральному затмению, которое будет происходить в дни весеннего и осеннего равноденствий. В другие дни продолжительность полной фазы будет меньше, а вот периоды полутени до и после полной фазы станут продолжительнее. Естественно, что в какие-то дни будут наблюдаться затмения без полной фазы, только с частной.

• 8.3. Следующее положение по календарной дате это то число, когда все четыре планеты разместятся в одном созвездии Тельца. Это будет 1 мая, когда Меркурий, движущийся прямым движением, войдёт в границы указанного созвездия. В этот день Солнце заходит около $19^{\rm u}$ $30^{\rm m}$ по времени $T_{\lambda}$ или в $21^{\rm u}$ по времени $T_{\pi}$ . Меркурий будет виден на высоте около $15^{\circ}$ под скоплением Плеяды.

Сыктывкар – Красноярск, 7–13 апреля 2002 г. Сыктывкар – Красноярск, 18–24 ошлöн 2002.

Продолжительность пребывания планет над горизонтом будет тем меньше, чем меньше её координата α (прямое восхождение). Первым оказывается над горизонтом Меркурий, затем Венера, Марс, Сатурн и, наконец, после полуночи Юпитер.

Интервал времени, в течение которого четыре планеты за исключением Юпитера соберутся в очень компактную группу, весьма мал. Торопитесь наблюдать явление! Это достаточно редкое и красивое зрелище.

• 8. Видимость планет. (Задача сыктывкарских авторов в редакции М.Г. Гаврилова, 2002.) Для полного решения предложенной задачи нужно воспользоваться таблицами эфемерид всех пяти планет. Предполагается, что участники Олимпиады поймут динамику движения 5 планет по эклиптике и её влияние на условия видимости, обратив внимание на редкое астрономическое явление, когда 4 планеты будут располагаться в одном созвездии (Тельца), а Юпитер рядом (в Близнецах). А также проследят динамику восходов, заходов и установят порядок появления планет, и область неба.

• 7.1. Проще всего рассмотреть ситуацию, когда астероид (Луна) «висит» на юге (то есть, в плоскости меридиана). Тогда, если этот объект не находится в тени Земли (это особый вопрос – затмения), ровно в полночь по местному времени будет наблюдаться «полнолуние», в 6 часов утра – третья четверть (астероид или Луна освещается только с восточной стороны), в полдень – новолуние, в 18 часов – первая четверть (объект освещается только с западной стороны). Соответственно, глядя на фазы астероида, можно приблизительно определять время – примерно таким же образом, как мы сейчас определяем, сколько дней прошло после полнолуния или новолуния.

1. Сыктывкар и Красноярск. (М.Г. Гаврилов, февраль 2002.) Простой ответ очевиден — это разница широт городов (5°37'), и, поскольку Сыктывкар севернее, высота кульминации Солнца там меньше. Однако, поскольку Сыктывкар находится на 41°59' (примерно на 42°) западнее Красноярска, полдень (а, следовательно, и кульминация Солнца) наступит там на 2 часа 47 минут 56 секунд (≈ 2 часа 48 минут = 2,8 часа) позже. А за это время склонение Солнца увеличится! Из эфемерид Солнца находим, что изменение склонения за 8 апреля составит

URL: http://www.issp.ac.ru/iao/russia/2001/ e-mail: univer@issp.ac.ru г, Троицк, 8–13 апреля 2001 г.

друга на бесконечное расстояние). Вообще говоря, абсолютное значение потенциальной энергии в физике не имеет смысла, важно только изменение потенциальной энергии.

Таким образом,

$$E = -GMm/2(R_0+h).$$

• 1. Лунный экватор почти совпадает с эклиптикой. Поэтому Солнце всегда восходит практически в точке востока, а заходит в точке запада. Орбита Луны слабо наклонена к эклиптике, поэтому Земля для лунного наблюдателя практически «ходит по эклиптике» и видна наблюдателю северного полушария только над южной частью горизонта, а наблюдателю южного полушария – только над северной его частью. Теперь посмотрим на карту неба. В районе Ориона эклиптика проходит к северу от этого созвездия. Поскольку, глядя на серп Земли, наблюдатель видел, что «под ним горел Орион», значит направление «вверх» означало «на север», т.е. Земля висела над южной частью горизонта. Вывод: герой романа был в северном полушарии Луны и, разумеется, на видимой её стороне.
• 2. Поскольку Солнце освещает Луну и Землю с одного направления, а направления взгляда наблюдателей на Луне и Земле противоположны, ясно, что с их точек зрения фазы Земли и Луны дополняют друг друга до полного круга. Поэтому в момент, когда Земля выглядела как "широкий серп, выгнутый к юго-западу", т.е. была между "новоземелием" и первой четвертью, Луна была между полнолунием и последней четвертью. Если учесть, что серп Земли был широкий, т.е. она была ближе к первой четверти, то Луна была ближе к последней четверти.

3. (М.Г. Гаврилов.) Для того, чтобы видимая звёздная величина Солнца увеличилась на $\Delta \mathbf{m}$ , необходимо, чтобы световой поток уменьшился в $10^{\Delta m/2,5}$ , следовательно, наблюдателю надо удалиться от Солнца в $(10^{\Delta m/2,5})^{1/2} = 10^{\Delta m/5}$ раз.

• 1. (А.В. Засов.) Есть несколько способов, хотя все они не очень точные. Наиболее часто используемые следующие:

• 5. (В.Г. Сурдин.) Да, может. Для этого планета должна иметь нулевой наклон экватора к плоскости орбиты, а сама орбита – заметный эксцентриситет (то есть, она должна заметно отличаться от круговой). Тогда сезоны, зависящие только от потока тепла, будут по всей планете определяться только её положением на орбите, а значит, будут везде меняться синхронно. Примером этого мог бы служить Меркурий, однако у него трудно различить суточный и годичный ход температуры. А у Плутона, также имеющего весьма вытянутую орбиту, очень сильно наклонена ось вращения. Это сложный случай: у Плутона характер смены сезонов зависит от ориентации оси вращения планеты к большой оси орбиты.
• 6. (М.Г. Гаврилов.) В невесомости находится центр масс всего комплекса «Мир» в целом: вместе с космонавтами, приборами, опытными животными и растениями, которых там было множество, и т.д. Поэтому, движения космонавтов приводят к обратному движению корпуса станции, работа вентилятора – вращение пропеллера – приводит к обратному вращению корпуса станции. Если космонавт, например, летит относительно центра масс системы со скоростью V, то его импульс равен mV. Значит, всё остальное (корпус станции, приборы, другие космонавты…) приобретает такой же импульс в противоположном направлении

1. (А.В. Засов.) Поскольку удар упругий, аппарат отскочит от поверхности с той же скоростью, с которой он ударился о неё. Чтобы оценить высоту подъёма, необходимо оценить ускорение на поверхности:

$$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G\left(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho\right)}{R^2} = \frac{4}{3}\pi GR\rho.$$

• (*) Примечание: С точностью до прецессии земной оси, об этой прецессии задача № 2 для 10-11 класса.
• 6. (В.Г. Сурдин.) Свет далёких звёзд, слагающих Млечный Путь, очень слаб. При лунном сиянии Млечный Путь не виден.

URL: http://www.issp.ac.ru/iao/russia/2001/ e-mail: univer@issp.ac.ru г, Троицк, 8–13 апреля 2001 г.

Решения задач для 9 класса. Первый тур

1. (А.В. Засов, обработка М.Г.Гаврилова.) Планеты выглядят наиболее яркими и наиболее удобны для наблюдений во время противостояний. Период обращения Юпитера вокруг Солнца – около 12 лет (точнее – 11,86 года). Следовательно, через год он уйдет вперёд примерно на 1/12 часть окружности, и Земля "догонит" его за один месяц (более точное решение требует вычитания угловых скоростей Земли и Юпитера, но для оценки можно обойтись и без него). Следовательно, наилучшая видимость будет в середине декабря.

Для получения ответа можно также просто воспользоваться табличным значением синодического периода Юпитера (399 дней).

• 2. (В.Г. Сурдин.) В этот день склонение Солнца равно δ = +23,5°. Поэтому пройти через зенит (а это и есть наибольшая высота) Солнце сможет только на широте тропика Рака, широта которого ϕ = 23,5°.
• 3. (А.В. Засов.) Допустимый «уход» телескопа составляет 1" за час, или 24" за сутки. Во временной шкале это составит 24"/(15"/сек) = 1,6 секунд времени за сутки. Не всякие наручные кварцевые часы могут обеспечить подобную точность хода.
• 4. (В.Г. Сурдин, обработка М.Г.Гаврилова.) Поскольку Сатурн в 9,54 раза дальше от Солнца, чем Земля, угловой диаметр солнечного диска, наблюдаемого от Сатурна, в 9,54 раза меньше, чем наблюдаемого с Земли: α = 32' / 9,54 ≈ 3,4'. Нужно определить, с какого из спутников Сатурна под таким же углом виден диск планеты. Приняв экваториальный диаметр Сатурна равным 120 тыс. км, найдем, что под углом 3,4' он виден с расстояния

5. (В.Г. Сурдин.) Как это ни странно, на этот вопрос можно услышать самые противоречивые ответы даже от весьма серьёзных людей. Например, отвечают так:

• 3. (А.В. Засов.) Допустимый «уход» телескопа составляет 1" за час, или 24" за сутки. Во временной шкале это составит 24"/(15"/сек) = 1,6 секунд времени за сутки. Не всякие наручные кварцевые часы могут обеспечить подобную точность хода.
• 4. (В.Г. Сурдин, обработка М.Г.Гаврилова.) Поскольку Сатурн в 9,54 раза дальше от Солнца, чем Земля, угловой диаметр солнечного диска, наблюдаемого от Сатурна, в 9,54 раза меньше, чем наблюдаемого с Земли: α = 32' / 9,54 ≈ 3,4'. Нужно определить, с какого из спутников Сатурна под таким же углом виден диск планеты. Приняв экваториальный диаметр Сатурна равным 120 тыс. км, найдем, что под углом 3,4' он виден с расстояния