чем больше величина небесного склонения, тем выше поднимается небесное тело. Из таблицы находим, что эта максимальная величина небесного склонения у кометы Хейла-Боппа была 25 марта (δмах = 45°50'). Время кульминации – около полудня. Действительно , прямое восхождение кометы в этот день (α = 00h39m) практически совпадает с прямым восхождением Солнца, которое в день весеннего равноденствия равно нулю и каждый день увеличивается примерно на 04m, то есть его можно оценить как αо = 00h16m. Таким образом, можно оценить время кульминации кометы как t* = α - αо = 00h23m после полудня (или в 12h31m + 00h23m = 12h54m Московского зимнего времени).

Высота кометы при этом была hmax = 45°50' + 90° - 55°30' = 80°20' Конечно, в это (дневное) время комета видна не была, но в тёмное время суток её можно было прекрасно наблюдать.

IV Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике

г. Троицк, 7-11 апреля

11 класс

1. Максимальное удаление звезды от центра галактики можно найти, используя закон сохранения энергии. Удаляясь от центра галактики, звезда теряет скорость, преодолевая силу притяжения галактики, то есть совершая работу против сил тяготения. Работа, совершенная звездой против силы тяготения в интервале от $R_{\rm o}$ до $R_{\rm g}$ , равна площади трапеции, заключенной под прямолинейным участком графика зависимости силы от расстояния, то есть

$$A(R_o, R_g) = \frac{\left(R_g - R_o\right) \cdot \left(F_g - F_o\right)}{2},$$

где $F_g$ и $F_o$ – значения силы притяжения на расстояниях $R_g$ и $R_o$ соответственно. Легко понять, что на круговых орбитах

$$\frac{F_g}{m} = \frac{V_g^2}{R_g}, \ \frac{F_o}{m} = \frac{V_o^2}{R_o},$$

$$\Delta \eta = arctg\left(\frac{l}{R}\right),$$

где R ≈ 6400 км – радиус Земли, а 1 находится из условия

$$l^2 = (R+H)^2 - R^2 = H \cdot (2R+H)$$

Поскольку $H \ll l \ll R$ , то $l \approx \sqrt{2RH}$ и

$$\Delta \eta \approx \frac{l}{R} \approx \sqrt{\frac{2H}{R}}$$ (в радианах).

Для наивысшей точки Крыма (гора Роман-Кош, широта $\phi_m = 44^\circ 36'$ , высота над уровнем моря H = 1545 м) получаем $\Delta \eta \approx 0,022$ рад или $1^\circ 16'$ . Таким образом, предельное небесное склонение, доступное для наблюдения из Крыма составит

$$\delta \ge 90^{\circ} - \varphi$$

Таким образом, для города Троицка нам нужно, чтобы небесное склонение кометы было

$$\delta \ge 34^{\circ}30'$$

Из таблицы эфемерид находим, что это условие выполняется с 3 марта по 18 апреля.

6. Максимальная высота светила, то есть точка верхней кульминации определяется по формуле:

$$h = \varphi - (90^{\circ} - \delta) \ge 0^{\circ},$$

чем больше величина небесного склонения, тем выше поднимается небесное тело. Из таблицы находим, что эта максимальная величина небесного склонения у кометы Хейла-Боппа была 25 марта (δмах = 45°50'). Время кульминации – около полудня. Действительно , прямое восхождение кометы в этот день (α = 00h39m) практически совпадает с прямым восхождением Солнца, которое в день весеннего равноденствия равно нулю и каждый день увеличивается примерно на 04m, то есть его можно оценить как αо = 00h16m. Таким образом, можно оценить время кульминации кометы как t* = α - αо = 00h23m после полудня (или в 12h31m + 00h23m = 12h54m Московского зимнего времени).

Высота кометы при этом была hmax = 45°50' + 90° - 55°30' = 80°20' Конечно, в это (дневное) время комета видна не была, но в тёмное время суток её можно было прекрасно наблюдать.

11. Луна в апогее на 1/9 дальше, чем в перигее. Насколько (в звёздных величинах) она при этом слабее в полнолуние? На сколько процентов в перигее больше приливная сила?

10. Эллиптическую орбиту кометы разделили на две части прямой линией, проходящей через центр Солнца и перпендикулярной большой оси орбиты. За время движения по какой из этих двух частей (большей или меньшей) траектории комета получает большее количество тепла?

9. Найти первую и вторую космические скорости для Марса, диаметр которого $d_{\scriptscriptstyle M}=6800$ км, а средняя плотность $\rho_{\scriptscriptstyle M}=3.9~{\rm r/cm}^3$ .

8. Луна в апогее на 1/9 дальше, чем в перигее. На сколько процентов она при этом слабее в полнолуние? На сколько процентов в перигее больше приливная сила?

7. Эллиптическую орбиту кометы разделили на две части прямой линией, проходящей через центр Солнца и перпендикулярной большой оси орбиты. За время движения по какой из этих двух частей (большей или меньшей) траектории комета получает большее количество тепла?

III Российская Олимпиада школьников по астрономии и космической физике (1995/96 г.) Региональный этап.

1. Ниже всего Солнце опускается в полночь, в Северном полушарии его "полуночная" высота находится по формуле

$$h = \varphi - 90^{\circ} + \delta,$$

где $\delta$ — склонение Солнца. Если h имеет отрицательное значение, — это означает, что Солнце под горизонтом. Наибольшее склонение Солнце имеет 22 июня, $\delta$ = $\varepsilon$ = $23\,^{\circ}27\,'$ . Граница территории, на которой хотя бы одну ночь в году не прекращаются навигационные сумерки, находится из этого уравнения при h = $-12\,^{\circ}$ и $\delta$ = $\varepsilon$ :

$$\varphi = -12^{\circ} + 90^{\circ} - 23^{\circ}27', \ \varphi = 54^{\circ}33'.$$

Заметим, что эта параллель проходит по северной части Калуги (для центра Калуги $\varphi = 54\,^{\circ}31\,'$ ).

• 2. Противоречия здесь нет: если в районе перигелия орбита кометы гиперболическая, то это не значит, что комета обязательно улетит за пределы Солнечной системы. Возмущения, вызываемые планетами, могут сделать орбиту замкнутой, особенно, если её эксцентриситет очень близок к единице. У нас реализовался как раз такой случай.
• 3. Из таблицы видим, что эксцентриситет орбиты кометы очень близок к единице, то есть орбита является практически параболической. Следовательно, скорость в перигелии в $2^{1/2}$ больше круговой с тем же радиусом. Из таблицы находим, что он равен 0,230 a.e., то есть $a_1/a_2=0,230$ .

Обозначив эту величину через $\alpha$ , из третьего закона Кеплера, сравнивая с орбитой Земли:

$$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_{3emnu}^2}{a_{3emnu}^3}$$

получаем

$$a_1 = \alpha \cdot a_{3\mathit{emnu}}$$ и $T_1 = \alpha^{3/2} \cdot T_{3\mathit{emnu}}$ . $$V_I = \frac{2\pi a_1}{T_1} = \frac{2\pi \alpha a_3}{\alpha^{3/2} T_3} = \frac{2\pi a_3}{\alpha^{1/2} T_3} \; .$$

$$V_{II} = 2^{3/2} \, \frac{\pi a_3}{\alpha^{1/2} T_3} \; .$$

Численный ответ: $V_{II} = 87,8 \text{ км/c}$ .

4. Из третьего закона Кеплера:

$$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$$

следовательно, чем меньше радиус орбиты космического корабля, тем меньше период его обращения вокруг Солнца, и минимальному периоду

2. Лучевая скорость звезды Альдебаран равна 54 км/c, её параллакс 0.05", а собственное движение составляет 0.2"/год. Определите полную пространственную скорость звезды.

1. Звездой какой величины будет выглядеть Солнце с орбиты Нептуна, если тот совершает полный оборот вокруг Солнца за $T_H = 164,8$ лет, а с Земли наше светило выглядит как звезда величины $m_0 = -26,8$ .

2. Как долго может продолжаться покрытие звезды Луной?

1. Найдите период обращения (в годах) астероида, у которого перигелий находится на орбите Земли, а эксцентриситет равен e = 0.5.

2. Оцените с точки зрения астрономии строки из песни Ю. Кима:

«А на луне, на луне, на голубом валуне Лунные люди смотрят, глаз не сводят, Как над луной, над луной шар голубой, шар земной Очень красиво всходит и заходит».

1. Вы наблюдаете в телескоп молодую Луну. Ваш приятель закрывает тетрадью правую (от Вас) половину объектива телескопа. Как изменится для Вас внешний вид Луны?

3. Пусть v - орбитальная скорость звёзд, а D - расстояние между ними. Тогда согласно эффекту Доплера:

2. Примем яркость галактики, лишённой пыли за единицу. Тогда при наличии тонкого слоя пыли, поглощающего втрое, яркость составит

1. Вся поглощаемая астероидами энергия идёт на излучение по закону ${\it E} \sim \sigma {\it T}^4$

4. Столь большой период обращения тела (в данном случае – пули) говорит о том, что орбита тела была почти параболической, т.е. полная энергия (кинетическая плюс потенциальная) пули равна нулю, и $\mathbf{v}_0$ – почти II космическая скорость:

• 2. Верхняя и нижняя кульминации происходят при пересечении светилом небесного меридиана. При этом возможны два случая: