Все задачи

• 2. Условие. Искусственный спутник Земли запускается с космодрома Восточный (52° с.ш., 128° в.д.). До выхода на расчетную круговую орбиту спутник движется строго вертикально (от центра Земли), а затем ему придается требуемая скорость в восточном направлении. Какой должна быть минимальная высота круговой орбиты искусственного спутника над поверхностью Земли, чтобы с любой точки земной поверхности хотя бы иногда его можно было наблюдать? Рефракцией и атмосферными помехами пренебречь.
• 2. Решение. По условию задачи, спутник был поднят на некоторую высоту h над поверхностью Земли, а потом получил скорость в восточном направлении. Как видно из рисунка, в этом случае точка запуска оказывается самой северной на всей круговой орбите, а наклон этой орбиты к плоскости экватора равен широте космодрома $\varphi$ .

• 1. Условие. С какой минимальной скоростью нужно перемещаться по поверхности Земли, чтобы ежедневно в течение года, хотя бы раз в сутки, наблюдать центр диска Солнца в зените? Орбиту и форму Земли считать круговой.

• Перед Вами фотография галактик, входящих в известную «цепочку Маркаряна» – часть скопления галактик в созвездии Девы (негатив). Галактики удалены на 16 Мпк от Земли. В таблице приведены значения лучевой скорости и видимой звездной величины каждой из этих галактик. В предположении, что «цепочка Маркаряна» является гравитационно-связанной системой, оцените массовый вклад темной материи в этой системе. Считать, что светимость галактик равна 1/10 светимости Солнца на солнечную единицу звездной массы. Межзвездным поглощением света пренебречь.

Во Владивостоке (43° с.ш., 132° в.д.) решили построить большие горизонтальные солнечные часы с неподвижным гномоном, которые показывали бы наиболее точное (по возможности) время днем в ясную погоду в любой сезон года. Нарисуйте, каким должен быть циферблат этих часов по отношению к сторонам горизонта. Время во Владивостоке опережает московское на 7 часов.

2 Вам предложены несколько изображений Луны, сделанных с Земли (последняя страница обложки). Определите, на каких из них происходит лунное затмение (в полутеневой или теневой фазе), а на каких затмения нет. Обоснуйте свои ответы.

2 Вам представлены два изображения астероида 136617 (1994 СС) во время его пролета вблизи Земли (негатив). Указаны дата и всемирное время съемки. На снимках видны два спутника. Известно, что второй спутник (снизу на фото) движется по круговой орбите с радиусом в 5 радиусов астероида и за указанный на фото временной интервал совершил малую часть одного оборота. Считая форму астероида сферической, оцените его

Вам предоставлена фотография звездного неба вблизи северного полюса мира (последняя страница обложки, автор – Александр Павлов), а также таблица с экваториальными координатами некоторых звезд. Определите время экспозиции и масштаб фотографии (в °/см).

1 Межзвездное облако состоит из молекулярного водорода (H2) и пыли и имеет форму шара с однородным внутренним распределением массы. Блеск далеких звезд, расположенных за центром облака, ослаблен на 1т. При каком радиусе это облако начнет сжиматься под действием собственного тяготения, если его температура составляет 20К? Массовое соотношение газа и пыли в облаке постоянно и равно 100:1, черные пылинки имеют радиус 0.5 мкм, плотность 1 г/см3 и ослабляют свет по законам геометрической оптики.

Радиопульсар в некоторый момент времени имеет точно известный период ровно в 1 с. Сколько после этого потребуется времени, чтобы обнаружить, что период этого радиопульсара растет со скоростью 10-15? Методы наблюдения позволяют определять время прихода импульса с точностью 10-3 с. Считать пульсар неподвижным относительно наблюдателя.

Радиопульсар — это вращающаяся нейтронная звезда, излучающая по принципу маяка: один раз за оборот луч, в котором распространяется излучение, попадает на Землю. Энергия вращения постепенно расходуется на излучение, вследствие чего вращение пульсара постепенно замедляется.

На первый взгляд кажется, что правильный ответ можно найти, разделив величину измеряемой задержки сигнала ( $10^{-3}$ секунды) на скорость роста периода пульсара ( $10^{-15}$ ). Получается $10^{12}$ секунд, что составляет почти 32 тыс. лет. Но это промежуток, за который сам период увеличивается на $10^{-3}$ секунды. Через такое время рост периода можно будет заметить, зарегистрировав всего два соседних импульса. В случае систематических наблюдений убедиться в замедлении пульсара можно будет существенно раньше.

Пусть $P_0$ — период радиопульсара в начальный момент времени, $\omega_0$ — угловая скорость вращения пульсара в момент открытия, $\dot{\omega}$ и $\dot{P}$ — скорость изменения периода и угловое ускорение соответственно, $\phi$ — угол поворота радиопульсара. Для этого угла можно записать уравнение:

$$\varphi = \omega_0 t + \frac{\dot{\omega} t^2}{2}.$$

Поскольку мы считаем пульсар неподвижным относительно наблюдателя, разности времен испускания и получения двух импульсов равны. Поделив обе части уравнения на $2\pi$ , мы получим его аналог, в котором вместо угла $\phi$ будет стоять число оборотов k, а вместо угловой скорости $\phi$ и скорости ее изменения — частота $\phi$ и скорость ее изменения:

2 Космический аппарат вывели на круговую околосолнечную орбиту с радиусом 1 а.е. После этого на нем был развернут солнечный парус, постоянно обращенный к Солнцу и уменьшающий эффективную силу его притяжения на 4%. В ходе дальнейшего движения этот парус мгновенно сворачивался, как только аппарат достигал афелия своей текущей орбиты, но вновь раскрывался в каждом перигелии. Сколько целых оборотов вокруг Солнца сделает этот аппарат? Какова его дальнейшая судьба? Взаимодействием аппарата со всеми телами, кроме Солнца и его фотонов, пренебречь.

Телескоп-рефрактор с относительным отверстием 1:5 и прямой каркасной трубой навели на звезду 0т. Затем с него сняли окуляр и поставили в фокальную плоскость матовую стеклянную пластинку. Какую звездную величину будет иметь изображение звезды на пластинке, если наблюдатель находится рядом с объективом (сбоку от него, не затеняя ход лучей звезды в телескопе)? Считать, что матовое стекло рассеивает весь свет в обе стороны от себя, причем равномерно во всех направлениях.

• Определите, на какой части поверхности Земли сейчас наблюдаются сумерки (в любой их стадии)? Угловыми размерами Солнца и рефракцией пренебречь. Решение дополните рисунком.
• По определению, сумерки продолжаются, пока Солнце находится в пределах высот от 0° до –18°. Будем считать Землю шаром. Тогда сумерки наблюдаются на сферической части поверхности шарового слоя, заключенного между полушарием, где в данный момент день, и сегментом, где ночь. Высота этого шарового слоя равна

Как известно, обычный дуршлаг можно использовать для наблюдений Солнца, в частности, во время частных солнечных затмений, проецируя изображения Солнца на светлый экран. Каким должно быть расстояние от дуршлага до экрана, чтобы условия для наблюдений были наилучшими? Какое угловое разрешение при этом может быть достигнуто? Считать, что наблюдатель находится рядом с дуршлагом, на том же расстоянии от экрана. Параметры дуршлага: диаметр – 20 см, диаметр отверстий – 2 мм, расстояние между центрами отверстий – 10 мм.

2 Короткий одиночный импульс от далекого радиоисточника был принят 21 марта в 06ч00м00.0000° по всемирному времени радиотелескопами вблизи Мурманска (69° с.ш., 30° в.д.), в Индонезии (0° ш., 99° в.д.) и Антарктиде (69° ю.ш., 30° в.д.). Определите экваториальные координаты источника на небе. Уравнением времени и сжатием Земли пренебречь.

• 2 Звезды 1, 2, 3 и 4 имеют видимый блеск ровно 1m, 2m, 3m и 4m соответственно. Расстояния до них составляют ровно 1, 2, 3 и 4 пк. Расположите эти звезды в порядке убывания светимости. Межзвездным поглощением света пренебречь.

1 На сколько градусов отстояла от северного полюса мира звезда α Малой Медведицы во времена плавания финикийцев вокруг Африки (около 600 г. до н. э.)?

Поезд движется равномерно на восток со скоростью 50 км/ч. Его пассажиры наблюдают верхнюю кульминацию Луны один раз в сутки в один и тот же момент по Всемирному времени. На какой широте находится поезд? Эксцентриситетом орбиты Луны и ее наклоном к плоскости экватора, а также сжатием Земли пренебречь.

6. Условие. Перед Вами диаграмма Герцшпрунга — Рассела, на которую нанесены звезды в соответствии с их светимостью (или абсолютной звездной величиной в полосе V) и показателем цвета В–V (или эффективной температурой, если определять ее по этому показателю цвета). Предположим, у далекой звезды, похожей на Солнце и находящейся на оси главной последовательности, есть более слабый близкий спутник, также расположенный на оси главной последовательности. Система не разрешается в телескоп, и данные ее фотометрии относятся ко всей системе в целом. Нарисуйте фрагмент диаграммы вблизи положения Солнца и отметьте, куда на ней может попасть такая звезда. Определите максимально возможное смещение этой звезды от положения главной звезды по абсолютной звездной величине и температуре. Химический состав обеих звезд системы считать одинаковым, межзвездным поглощением света пренебречь.

6. Решение. По условию задачи спутник не может быть ярче главной звезды. С учетом одинакового химического состава можно сделать вывод, что его температура меньше температуры главной звезды, а цвет (B–V) больше, чем у главной звезды. Можно выделить два крайних случая. Если спутник такой же яркий, как и главная звезда, значит его температура такая же и цвет такой же. Показатель цвета двойной системы не изменится, а блеск возрастет на 2.5 lg 2 ≈ 0.75m. Напротив, очень слабый спутник практически не будет вносить вклада в суммарный блеск двойной, а значит и в ее цвет, т. е. двойная будет располагаться на диаграмме там же, где и главная звезда. В промежуточном случае блеск двойной будет немного ярче блеска главной звезды, а ее цвет больше, т. е. двойная звезда окажется на диаграмме выше и правее. Очевидно, что геометрическое место всех возможных положений двойной не отрезок прямой, а часть более сложной кривой.

• 5. Условие. Каким должно быть фокусное расстояние наземного телескопа с апертурой 20 см, чтобы количество энергии, приходящее от Марса и Антареса $(1.1^{\rm m})$ на один пиксель ПЗС-матрицы, было одинаковым? Считать Марс находящимся в великом противостоянии: его блеск $-2.9^{\rm m}$ , расстояние до Земли 56 млн км. Размер квадратного пикселя ПЗС-матрицы равен 10 мкм.
• 5. Решение. Пусть $J_{\rm A}$ поток световой энергии, приходящей от Антареса, а $J_{\rm M}$ поток энергии приходящей от Марса. Из формулы Погсона можем определить отношение этих потоков как

$$\frac{J_{\rm M}}{J_{\rm A}} = K = 10^{0.4(m_{\rm A} - m_{\rm M})} = 40.$$

• 3. Условие. На снимках космической обсерватории SOHO различимы звезды до 8m на 20 угловых радиусах Солнца от его центра. Каким должен быть размер астероида, чтобы его можно было бы обнаружить рядом с Солнцем, в 20 радиусах от его центра в пространстве? Оптические свойства поверхности астероида считать аналогичными лунным, материал тугоплавким, изменениями свойств из-за нагрева пренебречь.
• 3. Решение. Чтобы увидеть астероид, расположенный в 20 радиусах Солнца от его центра, на 20 угловых радиусах Солнца от его положения на небе, астероид должен располагаться «сбоку» от Солнца. Условия его освещения будут аналогичны условию освещения Луны в фазе первой или последней четверти, поэтому нам нужно сравнивать яркость астероида с Луной именно в этой фазе. Тогда ее блеск $m_0$ составляет $-10^{\rm m}$ . Освещенность, создаваемая Луной на Земле в это время, равна

$$J_0 = \frac{B \cdot A \cdot F \cdot R_0^2}{16\pi \cdot L_0^2 D_0^2}.$$