Все задачи

• 2. Условие. Марс, находясь в западной квадратуре, наблюдается в созвездии Стрельца. В каком созвездии он будет находиться во время последующего противостояния? Считать орбиту Марса круговой и лежащей в плоскости эклиптики, орбита Земли также круговая.
• 2. Решение. Определим сначала, интервал времени, по истечении которого Марс окажется в противостоянии. Угол Земля-Солнце-Марс в квадратуре равен:

$$\varphi = \arccos a_1/a_2 = 49^{\circ}$$

• 1. Условие. Самолет МиГ-29М может развивать скорость до 2500 км/ч. Во сколько раз это больше (или меньше) скорости движения поверхности на экваторе радиопульсара? орбитальной скорости аппарата Dawn, вращающегося на низкой круговой орбите вокруг астероида Веста (масса $2.75 \cdot 10^{20}$ кг, радиус 265 км)?
• 1. Решение. Радиопульсар это нейтронная звезда. Его радиус $r_P$ составляет примерно 10 км. Периоды радиопульсаров $t_P$ бывают от 0.001 до 10 секунд. Скорость поверхности на экваторе радиопульсара составит

$$v_{\rm P} = \frac{2\pi \cdot r_{\rm P}}{t_{\rm P}}.$$

• 5. Условие. Световой пучок падает вдоль оптической оси на сферическое зеркало диаметром d с радиусом кривизны R. Определите расстояние фокуса зеркала от центра кривизны, если d << R.
• 5. Решение. Рассмотрим луч, идущий вдоль оптической оси на расстоянии h от нее. Этот луч отразившись от зеркала пересечет оптическую ось на искомом расстоянии x от центра кривизны. Пусть угол отражения равен $\alpha$ . Тогда

$$\sin \alpha = h/R$$

• 4. Условие. Два космических аппарата улетают от Земли в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями относительно Земли. На одном из них расположен источник излучения, а на втором приемник. Приемник фиксирует то, что излучение до него доходит на другой длине волны. Изменение длины волны $\Delta\lambda$ составляет 0.1 от самой длины волны $\lambda$ . Найдите скорости аппаратов относительно Земли.
• 4. Решение. Изменение длины волны достаточно большое, но все же заметно меньше самой длины волны. Поэтому мы можем использовать классические формулы для эффекта Доплера, считая скорости существенно меньшими скорости света. Скорость удаления аппарата с приемником от аппарата с источником равна

$$u = c \Lambda \lambda / \lambda$$

• 3. Условие. В октябре 2007 года комета Холмса с ядром радиусом 3.3 км, имеющая блеск около $16^m$ , в результате взрыва резко разгорелась до $2^m$ . Считая, что при взрыве все ядро распалось на одинаковые осколки, определите радиус этих осколков. Вклад частиц вне ядра в яркость кометы до вспышки не учитывать.
• 3. Решение. Обозначим через R первоначальный радиус кометы, а через r радиус осколков. Пусть $m_0$ и m звездные величины до и после взрыва. Изначальная яркость кометы пропорциональна видимой площади ее поверхности:

$$J_0 = C \pi R^2.$$

• 1. Условие. Спутник, движущийся по круговой экваториальной орбите в направлении вращения планеты, проходит над станцией слежения 5 раз в звездные сутки. Над станцией слежения проходит также спутник, движущийся по круговой полярной орбите такого же радиуса, что и орбита первого спутника. Как часто он проходит над этой станцией? Форма планеты сферическая, действием на спутники всех других тел, кроме этой планеты, пренебречь.
• 1. Решение. Обозначим звездные сутки как $T_{\rm E}$ . Синодический период обращения спутника составляет $S=T_{\rm E}$ / 5. Из уравнения синодического движения можем вычислить период обращения спутника:

$$\frac{1}{S} = \frac{1}{T} - \frac{1}{T_E},$$

$$\frac{1}{T} = \frac{1}{S} + \frac{1}{T_E} = \frac{T_E + S}{T_E S},$$

$$T = \frac{T_E S}{T_E + S} = \frac{1}{6}T_E.$$

• 6. Условие. Представьте себе, что радиус звездного диска нашей Галактики изображен размером в радиус Земли. Какого размера станут звезды в этом масштабе?
• 6. Решение. Радиус звездного диска Галактики составляет около 15 кпк, в то время как радиус Земли около 6400 км. Вспомним, что 1 парсек включает в себя примерно 200 000 а.е. или $3 \cdot 10^{13}$ км. Самые большие звезды имеют размер около 1000 радиусов Солнца, в то время как маленькие звезды белые карлики, величиной с Землю, т.е. около 0.01 радиуса Солнца. Посчитаем, какого они станут размера. Солнце будет иметь радиус

$$\frac{6.4 \cdot 10^3}{1.5 \cdot 10^4 \cdot 3 \cdot 10^{13}} \cdot 7 \cdot 10^5 \text{ км} \approx 10^{-8} \text{ км} = 10 \text{ мкм}.$$

• 5. Условие. Пролетая точку перигелия орбиты, комета оказывается в противостоянии с Солнцем и одновременно «останавливается» в своем видимом движении среди звезд. Каков эксцентриситет ее орбиты, если в это время она находится на том же расстоянии от Солнца, что и Марс? Орбиты Земли и Марса считать круговыми, комета движется в плоскости эклиптики.
• 5. Решение. В момент, описанный в условии задачи, комета проходит точку перигелия своей орбиты, то есть, движется в пространстве перпендикулярно направлению на Солнце и Землю (учтем, что комета располагается в плоскости эклиптики и для наблюдателей на Земле проходит точку противостояния с Солнцем).

• 5. Условие. Угловой диаметр звезды Бетельгейзе составляет 0.047", а ее болометрическая звездная величина –2m. Найти эффективную температуру Бетельгейзе.

• 4. Условие. Двойная звезда состоит из одинаковых компонент солнечного типа, обращающихся по круговой орбите вокруг общего центра масс. Система является затменной переменной, а линия водорода Нα (6563 Å) каждые 5 лет сначала раздваивается на 1.0 Å, а потом вновь сливается воедино. Чему равно расстояние между звездами?
• 4. Решение. Так как система является затменной переменной, звезды периодически оказываются на одном луче зрения одна за другой. При этом звезды не являются гигантами, а система не тесная (на это указывает период спектральных изменений). Следовательно, плоскость орбит звезд образует малый угол с лучом зрения. Во время затмений звезды будут иметь равные лучевые скорости относительно Земли, и линии от обеих звезд в спектре системы сольются воедино. Однако, через четверть орбитального периода одна из звезд будет двигаться с орбитальной скоростью v в сторону Земли, а другая с той же скоростью от Земли. Разница их лучевых скоростей составит 2v. Разница наблюдаемых длин волн линии Н $\alpha$ в спектрах звезд составит

$$\Delta \lambda = \lambda \cdot (1 + \frac{v}{c}) - \lambda \cdot (1 - \frac{v}{c}) = \lambda \cdot \frac{2v}{c}.$$

• 3. Условие. В период задымления от лесных пожаров в центральной России летом 2010 года наблюдатель заметил, что Солнце на высоте $20^{\circ}$ над горизонтом имело ту же видимую яркость, какая бывает у полной Луны вблизи зенита на ясном небе при чистой атмосфере. Исходя из этого, оцените суммарную массу дымовых частиц, находившихся над одним квадратным метром земной поверхности в этих районах. Считать, что поглощение света в чистой атмосфере в зените равно $0.2^{\rm m}$ , а дым состоит из черных частиц радиусом 1 мкм и плотностью $0.6~{\rm r/cm}^3$ . Также считать, что поглощение света соответствует законам геометрической оптики (дифракцией на частицах пренебречь).
• 3. Решение. Звездная величина Солнца при отсутствии атмосферного поглощения составляет $-26.8^{\rm m}$ , а звездная величина полной Луны в тех же условиях составляет $-12.7^{\rm m}$ . Вблизи зенита атмосферное поглощение делает Луну слабее на $0.2^{\rm m}$ , то есть ее блеск становится равным $-12.5^{\rm m}$ . Такой же блеск оказался у Солнца на высоте h (20°) над горизонтом в задымленной атмосфере. Величина поглощения солнечного излучения составила

$$m_{\rm h} = -12.5 - (-26.8) = 14.3^{\rm m}$$

• 2. Условие. При наблюдении с широты $+55^{\circ}$ звезда A со склонением $-2^{\circ}$ взошла одновременно со звездой B, а зашла одновременно со звездой C. Чему равна разность прямых восхождений звезд B и C, если они находятся на небесном экваторе? Рефракцией пренебречь.
• 2. Решение. Изобразим конфигурацию звезд во время восхода и захода звезды A. Очевидно, что угловые расстояния между звездами невелики, и картину можно считать плоской.

• 5. Условие. Угловой диаметр звезды Бетельгейзе составляет 0.047", а ее болометрическая звездная величина -2m. Найти эффективную температуру Бетельгейзе.
• 5. Решение. Сравним светимости Бетельгейзе (L) и Солнца ( $L_0$ ), пользуясь законом Стефана-Больцмана:

$$\frac{L}{L_0} = \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \left(\frac{T}{T_0}\right)^4.$$

• 4. Условие. Звезда движется относительно Солнца под углом 45° к лучу зрения. При этом ее гелиоцентрическая лучевая скорость равна 20 км/с, а собственное движение 0.10" в год. Чему равен тригонометрический параллакс звезды?
• 4. Решение. Так как звезда движется под углом 45° к лучу зрения, ее лучевая и тангенциальная скорость по модулю равны друг другу, тангенциальная скорость также составляет 20 км/с. Этот вывод в равной степени справедлив как для приближающейся, так и для удаляющейся звезды.

• 3. Условие. Астроном наблюдает полную Луну в два телескопа с одинаковыми окулярами с фокусным расстоянием 2.5 см. Объектив первого телескопа имеет диаметр 5 см и фокусное расстояние 1 метр. Второй телескоп имеет объектив диаметром 50 см с фокусным расстоянием 5 метров. Центр диска Луны совпадает с центром поля зрения. Сравните освещенность центральной части глазного дна наблюдателя в обоих случаях.
• 3. Решение. Построим оптическую схему системы «телескоп глаз наблюдателя».

• 1. Условие. Что такое звездные сутки, звездный месяц, звездный год? Сколько звездных суток и звездных месяцев содержится в одном звездном годе?

• 5. Условие. В один день Венера оказалась в наибольшей восточной элонгации при наблюдении с Земли и в наибольшей западной элонгации при наблюдении с Марса. Найдите видимый угловой диаметр Марса при наблюдении с Земли в этот день. Орбиты всех планет считать круговыми.
• 5. Решение. В случае круговых орбит наибольшая элонгация (угловое расстояние от Солнца) внутренней планеты наступает, когда направление на нее из точки наблюдения является касательной линией к ее орбиты. Наибольшая элонгация Венеры по условию задачи восточная для Земли и западная для Марса, следовательно, Венера находится на линии, соединяющей Землю и Марс.

• 3. Условие. 8 декабря в 15ч по Всемирному времени на Земле наблюдалось полное солнечное затмение, а 23 декабря в 09ч по Всемирному времени частное лунное затмение. В какой день декабря того же года (по Всемирному времени) Луна была в фазе первой четверти?
• 3. Решение. Солнечное затмение происходит в новолуние, в момент соединения Солнца с Луной на небе Земли. Лунное затмение, напротив, может произойти в полнолуние, когда Луна располагается с противоположной стороны от Солнца. Фаза первой четверти наступает между новолунием и полнолунием, когда Луна располагается в 90° от Солнца. Если бы орбита Луны была круговой, момент первой четверти наступил бы в середине временного отрезка между новолунием и полнолунием, то есть 16 декабря в 00ч по Всемирному времени.

• 1. Условие. Что такое звездные сутки, звездный месяц, звездный год? Сколько звездных суток и звездных месяцев содержится в одном звездном годе?
• 1. Решение. Звездные сутки $T_1$ период осевого вращения Земли относительно далеких звезд или, то же самое, промежуток времени между двумя последовательными верхними кульминациями одной и той же звезды в некотором пункте Земли. Вследствие орбитального движения Земли данный период несколько меньше солнечных суток один год содержит на одни звездные сутки больше, чем солнечные. Продолжительность звездных суток составляет 23 часа 56 минут 04 секунды или 0.99727 обычных (солнечных) суток.

NGC 5750 (Е.Н. Фадеев, О.С. Угольников)