Все задачи

• 2. Условие. В текущий момент модуль разности гелиоцентрических долгот Земли и астероида составляет 90°. Сколько времени пройдет до западной квадратуры астероида, если текущее расстояние от Земли до астероида в 1.29 раза превышает расстояние между ними в момент квадратуры? Орбиты Земли и астероида считать круговыми и лежащими в одной плоскости, движение астероида происходит в том же направлении, что и движение Земли (А.В. Веселова).
• 2. Решение. В условии не сказано напрямую, как именно относительно Земли расположен астероид – обгоняет или отстает в своем движении по орбите. Поэтому потребуется рассмотреть оба варианта расположения объектов.

6. Условие. Перед Вами – звездная карта с рассеянным звездным скоплением Плеяды в созвездии Тельца. На карте также нанесен отрезок, соответствующий длине равно в 1 пк на расстоянии скопления (считаем, что все звезды скопления удалены от нас на одинаковое расстояние). Исходя из этого, определите, сколько звезд в Плеядах имеют светимость больше 550 солнечных. Считайте, что Плеядам принадлежат все звезды, попавшие на карту (О.С. Угольников).

• 3. Условие. Вокруг звезды с радиусом 0.64 радиуса Солнца и температурой 3850 К по круговой орбите с радиусом 0.3 а.е. обращается кубический космический аппарат, одна грань которого представляет собой квадратную солнечную батарею с длиной стороны 40 см, ее КПД равен 15%. Аппарат должен был двигаться так, чтобы батарея всегда располагалась перпендикулярно направлению на звезду, обеспечивая максимальное энерговыделение. Однако в некоторый момент времени система ориентирования аппарата сбилась. При каком максимальном угле поворота оси батареи относительно правильного положения аппарат еще сможет функционировать, если для работы его приборов необходима мощность 20 Вт? (А.В. Веселова)
• 3. Решение. Определим, какая энергия падает ежесекундно на солнечную батарею. Для этого оценим освещенность на расстоянии 0.3 а.е. от звезды:

$$E = \frac{L}{4\pi r^2}.$$

• 2. Условие. Звезда Вега (α = 18.5ч, δ = +39°) в некотором пункте в некоторый момент времени проходит кульминацию, при этом она оказывается на 10° выше, чем звезда Канопус (α = 6.5ч, δ = –53°), обе звезды расположены над горизонтом. Определите широту точки наблюдения. Рефракцию света не учитывать (В.Б. Игнатьев).
• 2. Решение. Мы видим, что прямые восхождения звезд отличаются на 12 часов (в реальности, разница прямых восхождений Веги и Канопуса чуть иная, но это фактически не меняет ответ на задачу). Мы можем их изобразить на большом круге небесной сферы, проходящем также через полюса мира (северный полюс обозначен буквой N на рисунке). В момент, описанный в условии, это будет плоскость небесного меридиана. Проведем биссектрису угла «Вега – наблюдатель – Канопус». Она образует с экватором угол ϕ0, который мы можем определить из уравнения:

$$180^{\circ} - \delta_1 - \phi_0 = \phi_0 - \delta_2$$

• 1. Объясните причину возникновения больших и маленьких узких пиков.
• 2. Определите период обращения астероида вокруг Солнца, большую полуось и эксцентриситет его орбиты.

Орбиту Земли считайте круговой. Орбита астероида лежит в плоскости эклиптики. На графике отметьте все измеренные размеры. Используйте максимально точные методы.

Условие. В мае 1006 года наблюдатели на Земле зафиксировали сильнейшую вспышку звезды в точке неба, находящейся в современном созвездии Волка. По всей вероятности, это была Сверхновая типа Іа, самая яркая на Земле с начала новой эры. Ее видимая звездная величина в максимуме оценивается в $-7.5^{\rm m}$ . Расстояние до нее составляло 2.2 кпк.

Как известно, кривая блеска сверхновых звезд типа Ia после максимума определяется процессом распада никеля-56, образующегося при вспышке:

$$^{56}$$ Ni + e- $\rightarrow$ $^{56}$ Co + 1.75 МэВ (период полураспада 6.10 суток); $^{56}$ Co + e- $\rightarrow$ $^{56}$ Fe + 3.61 МэВ (период полураспада 77.12 суток).

Исходя из этих данных, определите общую массу никеля-56, образовавшегося при вспышке сверхновой, и время после регистрации максимума, через которое звезда в небе Земли ослабла до $0^{\rm m}$ . Сверхновая наблюдалась в стороне от Млечного пути, межзвездным поглощением света и болометрической поправкой сверхновой пренебречь.

Условие. Космический аппарат массой m обращается по круговой околосолнечной орбите с радиусом R0. В один момент времени аппарат включает двигатель, создающий постоянную силу тяги, все время направленную от Солнца. При какой минимальной величине этой силы аппарат в итоге покинет Солнечную систему? Считать, что масса аппарата в результате работы двигателя не меняется, взаимодействием с другими телами Солнечной системы, кроме Солнца, и излучением пренебречь.

Условие. Измерения в ИК-диапазоне показали, что белый карлик окружает кольцо из темных пылинок с температурой не более 1500 К. Предполагается, что пылинки попадают в кольцо в результате приливного разрушения пролетающих мимо астероидов. Оцените внутренний и внешний радиусы кольца в километрах, если масса белого карлика 0.8 масс Солнца, радиус белого карлика 0.01 радиусов Солнца, его температура 20000 K, а плотность астероидов 1 г/см3.

Условие. Радар, изучающий метеоры, фиксирует радиоэхо только тогда, когда направление от радара к метеору перпендикулярно ионизационному следу метеора. Радар, расположенный на широте $+52^{\circ}$ , направлен в точку востока. В $11^{^{4}}02^{^{M}}$ местного времени 2 июля он начинает получать многочисленные сигналы от метеоров, проходящих через его луч. Радар поворачивают на $40^{\circ}$ вдоль горизонта в сторону юга. В новом положении он начинает обнаруживать метеоры того же потока в $12^{^{4}}42^{^{M}}$ . Найдите экваториальные координаты (прямое восхождение и склонение) радианта этого метеорного потока. Уравнением времени пренебречь.

Условие. В планетной системе около звезды $\tau$ Кита с массой 0.78 массы Солнца обращается несколько планет. Планета c обладает круговой орбитой радиуса 0.195 а.е., планета e движется в той же плоскости и в том же направлении по эллиптической орбите с большой полуосью 0.538 а.е. и эксцентриситетом 0.18. В некий момент времени произошло великое противостояние планеты e для наблюдателя на планете e. Какой будет фаза планеты e при наблюдении с планеты e спустя 10 дней после великого противостояния?

Условие. В жесткой гамма-области, где невозможно построение телескопа как оптической схемы, направление на источник иногда определяется по отношению потоков энергии от него через площадки детектора, по-разному ориентированные в пространстве. В космос запускается гамма-детектор, имеющий форму куба, каждая из шести граней которого имеет одинаковую чувствительность и фиксирует поток энергии через свою площадь с внешней стороны куба. Она это делает с точностью 3%, то есть при истинном потоке J измеренный с равной вероятностью будет лежать в интервале от 0.97J до 1.03J. Определите максимально возможную угловую «площадь ошибок» (в квадратных градусах) участка неба, где может находиться источник, координаты которого измерены детектором один раз.

Условие. Во время недолгого перерыва в работе строители новой научной базы на поверхности Марса любуются закатом Солнца. Сразу после него на фоне зари появились две яркие планеты — Венера и Земля, вступившие в тесное соединение (без покрытия) друг с другом невдалеке от Солнца на небе и имеющие одинаковую видимую яркость. Определите угловое расстояние Венеры и Земли от Солнца, а также величины их фаз. Считать орбиты всех планет круговыми. Принять также, что за счет плотных атмосфер и облаков поверхностная яркость освещенных частей дисков Венеры и Земли не зависит от фазового угла (между направлением на Солнце и наблюдателя). Сумеречными эффектами (освещенностью атмосфер Венеры и Земли во время сумерек) пренебречь.

• 1. Какие планеты Солнечной системы будут поглощены Солнцем?
• 2. Найдите среднюю температуру поверхности самой горячей планеты, которая не будет поглощена Солнцем.
• 3. Какие крупные тела Солнечной системы окажутся в зоне жизни (средняя температура от 250 до 300К без учета парникового эффекта в атмосфере)?

Решение. Если масса центрального тела меняется медленно, то круговые орбиты остаются таковыми. Пусть начальная масса Солнца равна $M_0$ , масса в стадии красного гиганта — M. Аналогично определим старые и новые радиусы орбиты $R_0$ и R, периоды обращения $t_0$ и t. Запишем выражение обобщенного III закона Кеплера:

$$\frac{a_0^3}{t_0^2 M_0} = \frac{a^3}{t^2 M}.$$

Помимо этого, в системе не появляется нерадиальных сил, и поэтому действует закон сохранения момента импульса ( $v_0$ и v – орбитальные скорости):

$$a_0 v_0 = a v;$$

Условие. В 2014 году была открыта звезда WISE 0720-0846. Эта звезда интересна тем, что в прошлом она достаточно близко подлетела к Солнечной системе. Определите:

• 1. Минимальное гелиоцентрическое расстояние, на которое сближалась звезда с Солнцем.
• 2. Сколько лет назад это произошло?
• 3. Какова была при этом ее звездная величина?
• 4. Чему были равны ее полное собственное движение и радиальная скорость в этот момент?
• 5. Если полагать, что данная звезда породила возмущение в кометном облаке Оорта, то через какой минимальный промежуток времени следует ожидать приток комет в окрестностях Земли?

Современные характеристики звезды:

Решение. Рассмотрим рисунок, соответствующий условию задачи. Точка ${\bf C}$ — точка максимального сближения звезды с Солнцем. Вектор пространственной скорости звезды можно представить в виде:

Решение. По рисунку может показаться, что астероиды двигаются вдоль сторон треугольника. Разумеется, этого не может быть, каждый астероид семейства Хильды движется по эллиптической орбите. Вращающийся треугольник – всего лишь иллюзия, вызванная синхронизацией орбитальных периодов Юпитера и астероидов. Такое явление называется орбитальным резонансом.

Вначале мы определим эксцентриситет орбиты астероидов. Так как «толщиной» треугольника мы по условию задания пренебрегаем, то наибольшее расстояние астероида от Солнца есть отрезок между центром и вершиной треугольника, а наименьшее – между центром и стороной. Как известно, центр равностороннего треугольника делит его медиану в соотношении 2:1. Отсюда:

$$e = (q - p) / (q + p) = 1/3.$$

Из условия следует, что расстояние между астероидами и Солнцем в афелии их орбит близко к радиусу орбиты Юпитера, то есть q0 = 5.203 а.е. Мы можем вначале предположить вначале, что точки афелия находятся прямо на орбите Юпитера. Тогда из свойств равностороннего треугольника находим их перигелийное расстояние в этом приближении: p0 = q0/2 = 2.602 а.е., большая полуось есть a0 = 3q0/4 = 3.902 а.е. Однако, это не является точным решением. Действительно, в этом случае орбитальный период астероидов (в годах) составил бы

Условие. Космический аппарат готовится совершить посадку на поверхность далекой планеты, похожей по радиусу и массе на Землю. Завершив торможение двигателем в верхних слоях атмосферы, аппарат выключил его, раскрыл парашют и опускается строго вертикально. Радиолокатор непрерывно фиксирует данные о высоте аппарата над поверхностью. Пользуясь приведенным графиком, определите температуру атмосферы планеты, считая ее постоянной. Влиянием ветра на движение аппарата пренебречь. При решении задачи считать, что:

• 1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна плотности воздуха и квадрату скорости аппарата;
• 2. Атмосфера целиком состоит из азота N2, распределение концентрации молекул атмосферы с высотой h – больцмановское (n ~ exp (–gh/T), – молярная масса, g – ускорение свободного падения, – универсальная газовая постоянная, T – температура).

Условие. С помощью спектрографа высокого разрешения производятся наблюдения некоторой гравитационно-связанной звездной системы. Оказалось, что линия поглощения водорода H в ее спектре состоит из двух одинаковых по форме и глубине компонент. Зависимость центральной длины волны этих компонент от времени приведена на рисунках. Длины волн приведены к барицентру Солнечной системы (эффект движения наблюдателя в Солнечной системе вычтен). Известно, что система состоит из сферических компонент, массы которых строго одинаковы, а орбиты круговые. Лучевая скорость центра масс системы относительно барицентра Солнечной системы постоянна. Исходя из этого, определите минимально возможную полную массу системы. Что вы можете сказать о входящих в нее звездах? Поверхность каждой звезды однородна, осевым вращением, пятнами, потемнением к краю звезд пренебречь.

Условие. С некоторого объекта Солнечной системы $\mathbf{A}$ , двигающегося по круговой орбите, проводятся наблюдения другого объекта Солнечной системы $\mathbf{B}$ , также двигающегося по круговой орбите в той же плоскости. Перед Вами диаграмма «лучевая скорость — видимая угловая скорость» объекта $\mathbf{B}$ при наблюдении с объекта $\mathbf{A}$ . Положительный знак угловой скорости соответствует движению объекта $\mathbf{B}$ среди звезд в одном направлении с Солнцем, единица измерения угловой скорости — градусы за земные сутки. Оба объекта имеют сферическую форму, эффектами их атмосфер пренебречь. Определите радиусы орбит объектов $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ .

Условие. В таблице приведены значения продолжительности светового дня в некотором пункте наблюдения по сравнению с 23 февраля. Определите широту места наблюдения с точностью до $0.5^{\circ}$ .

| Дата | Продолжительность дня | Дата | Продолжительность

Условие. Перед вами фотография, сделанная 10 октября в Москве (φ = 55° с.ш., λ = 38° в.д.).

• 1. Оцените высоту Солнца в момент, когда делали фотографию.
• 2. Что вы можете сказать про момент съемки (по московскому времени)?
• 3. Оцените высоту здания на другой стороне улицы, которое отбрасывает тень, считая его крышу плоской.
• 4. Определите примерное направление улицы, проходящей межу зданиями.

Расстояние между этими зданиями – 14 м, вертикальный размер окна 1 м, оконное стекло расположено вертикально и вдоль улицы. Считайте, что в момент съемки лучи Солнца направлены перпендикулярно этой улице.