Все задачи

2 Две звезды имеют в небе Земли одинаковую звездную величину в полосе V, а в полосе В первая звезда ярче второй. У какой из этих двух звезд больше угловой диаметр? Межзвездным поглощением света пренебречь.

2 На одну и ту же околосолнечную орбиту с небольшим эксцентриситетом e было запущено 10000 одинаковых спутников — больших гладких металлических шаров, с интервалом 1/10000 орбитального периода T. С одного спутника ведутся измерения видимой звездной величины соседнего спутника. С каким периодом и какой амплитудой (разницей максимума и минимума) будет меняться эта звездная величина? Гравитационное взаимодействие шаров друг с другом и с планетами не учитывать.

С помощью системы из телескопа и спектрографа с фокусным расстоянием 5 м и разрешением (масштабом) 10 А/мм получен спектр некоторой планеты. Наблюдатель находится в плоскости экватора планеты, щель спектрографа ориентирована вдоль этой же плоскости. Атмосферные линии в спектре планеты оказались наклоненными на угол 5° по отношению к линиям лабораторного источника света. Найдите расстояние до планеты, если ее период обращения вокруг своей оси равен 10 часам. Наблюдения проводятся в спектральной области около длины волны 5500 A.

Желая внушить страх сторонникам Сопротивления, Новый Орден, преемник Галактической Империи, с помощью базы «Старкиллер» уничтожил планетную систему Хосниан, в которой располагалась столица Новой Республики Хосниан-Прайм. Получившаяся вспышка была настолько яркой, что была видна на планетах других систем даже днем. Например, на Токадане взрыв самой маленькой из планет выглядел как вспышка с блеском –8m. Найдите суммарную видимую звездную величину вспышки на Токадане, если известно, что в системе Хосниан было четыре планеты с одинаковыми плотностями, а их радиусы соотносились как 1:2:3:4. Считать, что мощность взрыва пропорциональна массе планеты, а его длительность на всех планетах одинакова.

17 января 2016 года комета C/2013 US10 (Каталина) приблизилась к Земле на минимальное расстояние. При этом ее горизонтальный параллакс составил 12.0". 18 марта того же года параллакс кометы был равен 4.0". С какой средней пространственной скоростью относительно Земли двигалась комета за этот периол?

Находим расстояния от Земли до кометы в указанные моменты времени:

$$D_{1,2} = R / \sin p_{1,2}$$

Здесь R – радиус Земли, $p_{1,2}$ – параллаксы кометы в оба момента времени. Учитывая малость углов параллакса, их синусы можно заменить значениями самих углов в радианах. Мы получаем расстояние 0.73 а.е. для 17 января и 2.20 а.е. для 18 марта. Промежуток времени T между этими моментами составляет 61 день. Так как нас интересует средняя скорость движения кометы относительно Земли, а указанный промежуток времени существенно меньше одного года, будем считать путь кометы прямой линией. Учтем, что 17 января комета приблизилась к Земле на минимальное расстояние, то есть ее геоцентрическая траектория была перпендикулярна направлению на Землю. Средняя геоцентрическая скорость кометы равна

$$v = \frac{L}{T} = \frac{\sqrt{D_2^2 - D_1^2}}{T} = 59 \text{ км/c}.$$ $D_1$ $D_2$

2 В некотором пункте Земли центр диска Луны взошел на 20 минут раньше по местному (среднему солнечному) времени, чем в предыдущие сутки, находясь в созвездии Рыб. Определите возможные значения широты этого пункта. Атмосферной рефракцией, суточным параллаксом Луны и эксцентриситетом ее орбиты пренебречь.

2 Два спутника вращаются по круговым экваториальным орбитам вокруг Земли. Известно, что спутник 1 имеет радиус орбиты 18650 км (10 класс: горизонтальный параллакс 20°) и обратное движение (противоположно осевому вращению Земли), а спутник 2 — радиус орбиты 36700 км (10 класс: горизонтальный параллакс 10°) и прямое движение. Для наблюдателя на экваторе в некоторый момент времени спутники находятся в западной полусфере. Высота первого спутника 30°, высота второго спутника 60°. Какой из спутников раньше попадет в зенит и через какой промежуток времени? Атмосферной рефракцией пренебречь.

• 5. Условие. По одной из версий ученых, роль частиц темной материи могут играть «вимпы» (WIMP weakly interacting massive particle) элементарные частицы с энергией около 100 ГэВ. Определите среднюю концентрацию вимпов в пространстве, если масса Галактики в пределах 50 кпк от центра оценивается в $2 \cdot 10^{12}$ масс Солнца, а доля темной материи в ней составляет примерно 80%.
• 5. Решение. Определим массу частицы m, исходя из того, что ее энергия E равна $10^{11}$ эВ или $1.6 \cdot 10^{-8}$ Дж:

$$m = \frac{E}{c^2} = 2 \cdot 10^{-25} \text{ Kg}.$$

• 4. Условие. Вечером 9 мая 2016 года состоится редкое астрономическое явление прохождение Меркурия по диску Солнца, которое будет хорошо видно в Европейской части России. Определите, во сколько раз майские прохождения Меркурия случаются реже ноябрьских. Считайте, что во время майских прохождений Меркурий располагается в афелии своей орбиты, а орбита Земли круговая.
• 4. Решение. Для того, чтобы произошло прохождение Меркурия по диску Солнца, должны выполниться два условия: Меркурий должен находиться в нижнем соединении с Солнцем (то есть находиться между Солнцем и Землей) и быть в это же время вблизи одного из узлов своей орбиты точек ее пересечения с плоскостью орбиты Земли (плоскости эклиптики). Если во время нижнего соединения второе условие не выполняется, Меркурий пройдет на небе Земли севернее или южнее Солнца, и прохождение не наступит. Поэтому эти явления происходят только в два противоположных сезона года в начале мая и начале ноября. Их частота определяется тем, насколько близко к узлу орбиты должен находиться Меркурий.

• 3. Условие. Задолго до подлета межпланетной станции к Нептуну со стороны Солнца диск его спутника Тритон различим с борта станции в некоторый телескоп, причем выглядит таким же (по видимым размерам и яркости), как сам Нептун без телескопа. Найдите диаметр объектива телескопа и его увеличение. Геометрическое альбедо Нептуна и Тритона равно 0.41 и 0.76 соответственно.
• 3. Решение. По условию задачи, станция подлетает к Нептуну со стороны Солнца, поэтому планета и все ее спутники, видимые в тот или иной момент, будут иметь полную фазу, то есть выглядеть как круглые диски. Для углового диаметра $\delta$ и яркости объекта j (или плотности потока энергии от него) в этом случае справедливы соотношения:

$$\delta = \frac{\Delta}{L}; \quad j = I \frac{A\pi\Delta^2}{4\pi L^2} = I \frac{A\Delta^2}{4L^2}.$$

• 2. Условие. Две яркие звезды Сириус ( $\alpha$ =06ч45.1м, $\delta$ =-16°43′) и Вега ( $\alpha$ =18ч36.9м, $\delta$ =+38°47′) располагаются на одинаковой высоте над горизонтом. На какой широте на Земле (с точностью до градуса) эта высота будет наибольшей?
• 2. Решение. Сириус и Вега находятся на небе далеко друг от друга, но не в противоположных точках небесной сферы. Через них можно провести ровно один большой круг небесной сферы. Звезды располагаются на одной высоте над горизонтом на этом круге. Эта высота будет наибольшей, если данный круг располагается вертикально, проходя через зенит (см. рисунок):

• 1. Условие. Звезда имела в зените видимый блеск 0m, а на высоте 30 градусов стала светить вдвое слабее. Какую звездную величину она будет иметь на высоте 20 градусов над горизонтом? Атмосферные условия считать постоянными и однородными.
• 1. Решение. При стабильных атмосферных условиях вдали от горизонта для решения данной задачи мы можем считать атмосферу некоторым плоским слоем толщиной L. Поглощение света в ней (увеличение видимой звездной величины светила) будет пропорционально пути луча в ней $D=L/\sin h$ , где h высота светила над горизонтом.

• 5. Условие. Ближайшее полное солнечное затмение состоится 9 марта 2016 года. Точка, в которой полное затмение будет видно раньше всего, будет располагаться вблизи экватора (широта –3°). На какой широте будет располагаться последняя точка наблюдения полной фазы затмения? Луна во время затмения будет около нисходящего узла своей орбиты.
• 5. Решение. Обратим внимание, что затмение происходит вблизи момента весеннего равноденствия. В этот момент линия эклиптики проходит под углом $\varepsilon$ (23.4°) к экватору. Сама Луна движется под углом i к эклиптике, причем она находится в нисходящем узле. Поэтому движение Луны будет происходить под углом ( $\varepsilon i$ ) = 18.25° к экватору. Примерно под таким же углом к плоскости экватора будет двигаться тень Луны на Земле (так как угловое перемещение Земли по орбите вокруг Солнца в плоскости эклиптики происходит со значительно меньшей угловой скоростью).

• 3. Условие. 14 июля 2015 года космический аппарат New Horizons прошел рядом с Плутоном, имеющим на тот момент геоцентрические координаты $\alpha$ =19ч00.2м, $\delta$ =-20°45′. В какое местное время станция слежения, расположенная на экваторе Земли, могла отправить сигнал на аппарат, чтобы получить ответ? Считать, что аппарат дает ответ мгновенно при получении сигнала. Расстояние от Солнца до Плутона в 2015 году считать равным 33 а.е., атмосферные помехи и уравнение времени не учитывать.
• 3. Решение. Прохождение аппарата мимо Плутона произошло спустя 21 день после летнего солнцестояния. Поскольку за сутки эклиптическая долгота Солнца меняется примерно на $1^{\circ}$ , прямое восхождение Солнца $\alpha_0$ увеличится примерно на 1.5 часа, т.е. составит 7.5 часов. По координатам мы видим, что Плутон в момент подлета станции был вблизи противостояния с Солнцем, если наблюдать с Земли. Поэтому геоцентрическое расстояние Плутона D было на 1 а.е. меньше гелиоцентрического и составляло 32 а.е.

• 2. Условие. С какой части поверхности Земли можно наблюдать Международную космическую станцию, если известно, что высота ее круговой орбиты составляет 420 км, а наклонение 51.6 градуса? Рефракцией, атмосферными помехами и сжатием Земли пренебречь.
• 2. Решение. Изобразим Землю и орбиту МКС со стороны одного из узлов орбиты МКС (точки ее пересечения с плоскостью экватора):

• 1. Условие. Астроном проводит визуальные наблюдения в телескоп с увеличением 10 крат. Определите максимально возможную звездную величину самых слабых звезд, которые он может увидеть.
• 1. Решение. Нас интересует предельно возможная звездная величина, поэтому будем считать, что атмосферные эффекты (размытие, поглощение, фон неба) не сказываются на наблюдениях. Обозначим диаметры объектива и зрачка человеческого глаза как D и $d_0$ . Диаметр выходного пучка света от звезды d будет равен $D/\Gamma$ , где $\Gamma$ увеличение, создаваемое окуляром телескопа. Если диаметр выходного пучка будет не больше, чем $d_0$ (увеличение не меньше равнозрачкового $\Gamma \ge D/d_0$ ), то в глаз наблюдателя попадет весь свет, собранный объективом. Обозначив поток энергии от звезды до попадания в телескоп как $F_0$ , запишем выражение для количества энергии, зарегистрированной наблюдателем в единицу времени:

$$J = F_0 \frac{\pi D^2}{4} = F_0 \frac{\pi d_0^2}{4} \left(\frac{D}{d_0}\right)^2 = J_0 \left(\frac{D}{d_0}\right)^2, \quad D \le d_0 \Gamma.$$

6. Условие. На рисунке показано перемещение ярчайшей звезды ночного неба Сириус среди далеких звезд с момента начала наблюдений (годовые параллактические колебания вычтены). На рисунке заметен эффект наличия спутника этой звезды. Оцените массу этого спутника, считая ее существенно меньшей массы самого Сириуса, а орбиту – лежащей в плоскости рисунка. Масса Сириуса равна 2 массам Солнца, расстояние до него – 2.64 пк.

6. Решение. Расстояние до Сириуса равно 2.64 пк, это означает, что одна угловая секунда в плоскости рисунка соответствует расстоянию 2.64 а.е. Траектория Сириуса отличается от прямой линии из-за его вращения вокруг центра масс двойной системы. Период этого вращения T, как видно из рисунка, чуть больше 50 лет (мы вполне можем использовать это значение). По условию задачи, мы предполагаем, что вращение происходит в плоскости рисунка. Оно происходит по эллипсу. Для еще большего упрощения предположим, что линия апсид этого эллипса (линия, соединяющая точки перицентра и апоцентра) перпендикулярна собственному движению Сириуса (это близко к истине, в чем можно убедиться по примерно постоянной скорости движения звезды по своей траектории).

• 5. Условие. 9 января 2016 года Венера, обгоняя Землю в своем орбитальном движении ровно на 90 градусов, вступила в небе Земли в тесное соединение с Сатурном. Определите, в какой день 2016 года Сатурн при наблюдении с Земли вступит в противостояние с Солнцем. Орбиты всех планет считать круговыми.
• 5. Решение. Изобразим положение трех планет в момент соединения Венеры и Сатурна в небе Земли:

• 4. Условие. Вечером 9 мая 2016 года состоится редкое астрономическое явление прохождение Меркурия по диску Солнца, которое будет хорошо видно в Европейской части России. Для его наблюдения телескоп оснастили солнечным экраном, на котором изображение Солнца имеет диаметр 15 см. Какого диаметра на этом экране будет пятно изображение Меркурия? Считать, что во время явления Меркурий будет располагаться в афелии своей орбиты, а орбита Земли круговая.

• 3. Условие. Сколько звездных и солнечных секунд (с точки зрения наблюдателя) проходит за одну физическую секунду в поезде, идущем по одной из самых северных железных дорог мира Дудинка-Норильск (широта +69.5°) в восточном направлении со скоростью 60 км/ч? Уравнением времени пренебречь.
• 3. Решение. Для неподвижного (относительно поверхности Земли) наблюдателя звездное небо будет вращаться вокруг оси мира с угловой скоростью

$$\Omega_{\rm S} = \frac{2\pi}{T_{\rm S}},$$